最多由 K 个远距离元素组成的最大和子序列

介绍

在算法中，常常需要寻找子序列中的最大和，而在这个问题中，我们要寻找最多由K个远距离元素组成的最大和子序列，且必须包括第一个和最后一个数组元素。

解法

考虑动态规划，dp[i][j][k]表示前i个元素，使用j个远距离元素，以第k个元素为结尾的最大和子序列。

这里的远距离元素是指数组中位置之间距离大于1的元素，即需要跳过的元素。

状态转移方程如下：

$$dp[i][j][k]=\max(dp[i-1][j][k]+nums[i],dp[i-1][j-1][p]+nums[i])$$

其中，nums[i]表示第i个元素的值，p是在i之前的远距离元素的位置。

当i在j个元素中间，则dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]+nums[i]，因为i没有作为远距离元素选中。

当i作为第j个远距离元素，则dp[i][j][k]=dp[i-1][j-1][p]+nums[i]，其中p是在i之前的所有跨度都大于1的第j-1个元素的位置。

最终答案为dp[n][k][1]，其中n是元素个数，1是因为子序列必须包括第一个元素。

代码

int maxSum(vector<int>& nums, int k) {
    int n = nums.size();
    vector<vector<vector<int>>> dp(n + 1, vector<vector<int>>(k + 1, vector<int>(n + 1, INT_MIN / 2)));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= k; j++) {
            if (i == 1 || j == 0) {
                dp[i][j][i] = nums[i - 1];
            } else {
                for (int p = 1; p < i; p++) {
                    dp[i][j][p] = max(dp[i][j][p], dp[i - 1][j][p] + nums[i - 1]);
                    dp[i][j][i] = max(dp[i][j][i], dp[i - 1][j - 1][p] + nums[i - 1]);
                }
            }
        }
    }
    int ans = INT_MIN / 2;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, dp[n][k][i]);
    }
    return ans;
}

该代码片段使用C++11语法编写，在O(n^3k)的时间复杂度内完成了问题的求解。