最大和子序列

题目描述

给定一个整数数组和一个整数k，找到这个数组中由最多k个远距离元素组成的最大和子序列，包括第一个和最后一个数组元素。

解题思路

这道题需要求的是最大和子序列，并且限制了子序列的元素个数不能超过k个，所以我们可以使用动态规划来解决。

我们用$dp[i][j]$表示前$i$个数中，选取$j$个数且包含第一个和最后一个数的最大和子序列的值，那么状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = \max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+nums[i]} $$

其中，$dp[i-1][j]$表示不选第$i$个数，$dp[i-1][j-1]+nums[i]$表示选第$i$个数，然后在前面的$i-1$个数中选$j-1$个数，保证选中第一个和最后一个数。

最后，我们需要遍历所有的$dp[n][j]$，其中$n$为数组长度，找到其中的最大值即为所求答案。

代码实现

def max_subarray(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+nums[i-1])
    ans = 0
    for j in range(1, k + 1):
        ans = max(ans, dp[n][j])
    return ans

复杂度分析

时间复杂度：$O(nk)$，其中$n$为数组长度。因为需要遍历$n\times k$个状态。

空间复杂度：$O(nk)$，需要用二维数组存储状态。