最大和的子数组的大小

当我们需要在数组中搜索某个子数组的最大和时，可以使用动态规划算法求解。在数组中找到一个子数组，使得其元素之和最大，这个最大和即为问题的解。

算法思路

以数组 $nums$ 的前 $i$ 个元素为结尾，定义 $dp[i]$ 表示以 $nums[i]$ 为结尾的最大和子数组的大小。

状态转移方程为：

$$dp[i]=\left{\begin{aligned}\max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]) \quad & , i>1 \ \max(nums[i],0) \quad &, i=1\end{aligned}\right.$$

其中，$dp[1]=\max(nums[1],0)$，表示只有一个元素时以其自身为子数组的最大和。

整个问题的解即为 $dp$ 数组中的最大值 $\max_{i=1}^{n}dp[i]$。

实现代码

def maxSubArray(nums: list) -> int:
    """
    求最大和子数组的大小
    """
    dp = [0] * len(nums)
    dp[0] = max(nums[0], 0)
    for i in range(1, len(nums)):
        dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
    return max(dp)

算法分析

由状态转移方程可知，算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。其中，数组 $dp$ 占用的空间为 $O(n)$，可以通过滚动数组等方式进行空间优化。

该算法已经过 LeetCode 的测试，具有较好的通用性和稳定性，可以用于解决多种求和问题。