最长子序列，使得相邻元素之间的差异为 K

介绍

最长子序列问题是一个经典的动态规划问题，其目标是在一个序列中找到一个最长的子序列（不一定是连续的），使得其中任意两个元素之间的差异为给定的值 K。

解法

动态规划

我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长子序列长度。则有以下状态转移方程：

$$ dp[i] = \max\limits_{j<i, a_i-a_j=k}(dp[j])+1 $$

其中 $a_i$ 表示第 i 个元素，k 是给定的差值。我们遍历整个序列，对于每个元素，找到所有差值为 k 的上一个元素 j，计算其 dp 值。最后取所有 dp 值中的最大值，即为所求。

下面是 Python 代码实现：

def longest_subsequence_with_diff_k(arr, k):
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] - arr[j] == k:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

二分查找

上面的动态规划算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，对于大规模数据会比较慢。我们可以使用二分查找来优化时间复杂度。

我们定义一个 map，用于存储每个元素及其对应的下标。然后遍历整个序列，对于每个元素，再分别查找其差值为 k 和 -k 的元素。具体来说，我们在 map 中搜索 arr[i]+k 和 arr[i]-k，如果找到了就更新最长子序列的长度。这样查找的过程就可以用二分法来实现，时间复杂度为 $O(n \log n)$。

下面是 Python 代码实现：

def longest_subsequence_with_diff_k(arr, k):
    n = len(arr)
    map = {}
    for i in range(n):
        map[arr[i]] = i
    ans = 0
    for i in range(n):
        if arr[i] + k in map:
            ans = max(ans, map[arr[i]+k]-i+1)
        if arr[i] - k in map:
            ans = max(ans, map[arr[i]-k]-i+1)
    return ans

总结

最长子序列问题是一个经典的动态规划问题，我们可以使用动态规划解决，并且也可以用二分查找来优化时间复杂度。在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的算法。