最长子序列的长度，使得相邻元素的 XOR 等于 K

问题描述

给定一个整数序列，求长度最长的子序列，使得其中相邻元素的异或值等于给定的整数 K。

解决方案

首先考虑暴力枚举法，以 $O(n^2)$ 的时间复杂度枚举所有的子序列，然后再检查相邻元素的异或值是否等于 K。这种暴力枚举法时间复杂度太高，在实际应用中无法接受。

可以考虑使用动态规划来解决该问题。定义状态 $dp[i][j]$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾、异或和为 $j$ 的子序列的最大长度。则有状态转移方程：

$$ dp[i][j]=\begin{cases} 0&\text{j>1024}\ 1+\max{dp[k][j\oplus k]}&\text{k<i} \end{cases} $$

其中 $\oplus$ 表示异或运算。最终的答案为 $\max{dp[i][K]}$。

解释一下状态转移方程，对于第 $i$ 个元素，其可以与前面的任意一个元素组成异或值为 $j$ 的子序列，如果第 $k$ 个元素可以与第 $i$ 个元素组成这样的子序列，则可以在 $dp[k][j\oplus k]$ 的基础上加入第 $i$ 个元素，形成长度为 $dp[k][j\oplus k]+1$ 的子序列。

如果使用暴力求解，那么状态转移方程的时间复杂度为 $O(n^2\times 1024)$，无法通过本题。但由于 $j$ 最大只有 $1024$，因此可以使用滚动数组将时间复杂度优化到 $O(n\times 1024)$。

代码实现

以下是使用 Python 语言实现的动态规划代码：

def solve(a, k):
    MAXN = 1025
    n = len(a)
    dp = [[0] * MAXN for _ in range(2)]
    ans = 0
    for i in range(n):
        for j in range(MAXN):
            dp[i & 1][j] = 0
            if j > 0:
                dp[i & 1][j] = dp[i & 1][j ^ a[i]] + 1
            if i > 0:
                dp[i & 1][j] = max(dp[i & 1][j], dp[(i - 1) & 1][j])
            if j == k:
                ans = max(ans, dp[i & 1][j])
    return ans

总结

本题可以使用动态规划算法解决，时间复杂度为 $O(n\times 1024)$。如果暴力枚举，时间复杂度为 $O(n^2\times 1024)$，无法通过本题。