最长子序列的长度，使得相邻元素的异或不减少

介绍

给定一个序列，要求找到其中的最长子序列，使得相邻元素的异或操作不减少。对于一个序列中的两个数 a 和 b，其异或操作定义为 a ^ b，即按位进行异或运算。

例如，对于序列 [3, 10, 2, 5, 7]，其中的最长子序列为 [3, 10, 7]，其相邻元素的异或操作为 3 ^ 10 = 9，10 ^ 7 = 13，都不会减少。

这个问题可以使用动态规划（DP）来解决。具体来说，可以定义一个 DP 数组 dp[i][j]，表示以第 i 个元素结尾，长度为 j+1 的子序列的最长长度。注意这里的长度指的是位置数量，而不是元素数量。例如，[3, 10, 2, 5, 7] 中的 [3, 10] 长度为 2，但元素数量为 2。

转移方程可以表示为：

dp[i][j] = max(dp[k][j-1]+1), 
其中 k < i 且 dp[k][j-1] ^ a[i] > dp[i][j-1]

其中，dp[k][j-1]+1 表示以第 k 个位置结尾，长度为 j 的子序列的最长长度，再加上当前的这个位置，就得到了以第 i 个位置结尾，长度为 j+1 的子序列的最长长度。

需要满足的条件是，在满足 k < i 和 j > 0 的前提下，dp[k][j-1] ^ a[i] 要大于 dp[i][j-1]，其中 a[i] 表示第 i 个位置上的数值。

最终的答案就是 dp[i][j] 中的最大值，其中 i 可以取到 0 到 n-1 的所有值，j 可以取到 0 到 k-1 的所有值，其中 k 是序列的长度。

示例代码

def longest_subsequence_with_xor_non_decreasing(a):
    n = len(a)
    dp = [[1] * n for _ in range(n)]  # 初始化为 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            for k in range(j):
                if dp[k][j-1] ^ a[i] > dp[i][j-1]:
                    # 满足条件，更新 dp[i][j]
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j-1]+1)
    res = max([max(dp[i]) for i in range(n)])
    return res

注意，上面的代码中，为了方便，我们把 DP 数组初始化为 1，表示每个位置上的元素自成一个长度为 1 的子序列，这并不影响最终的计算结果。另外，该算法的时间复杂度是 O(n^3)，具体来说，总共需要计算 n(n-1)(n-2)/6 次，因为共有 n(n-1)/2 个 dp[i][j] 的位置，对于每个 dp[i][j]，需要枚举 j-1 个位置 k 做比较。