由不同相邻元素组成的最长子序列的长度

在计算机程序中，我们经常需要寻找数组或序列中的子序列，并对其进行操作。其中，找到由不同相邻元素组成的最长子序列是一种常见的问题。本文将介绍该问题的解法和优化方法。

问题描述

给定一个由整数构成的序列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，请寻找由不同相邻元素组成的最长子序列长度。

例如，对于序列 $1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 5$，由不同相邻元素组成的最长子序列为 $1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 6$，长度为 8。

解法介绍

朴素解法

朴素的解法是枚举所有的子序列，并检查其中是否有相邻元素相同的子序列。具体地，我们可以使用两重循环 $i, j$ 枚举子序列的左右端点，并检查其中相邻元素是否相同。由于任意一个序列有 $O(n^2)$ 个子序列，每个子序列需要 $O(n)$ 的时间进行检查，因此朴素解法的时间复杂度为 $O(n^3)$。

动态规划

我们也可以使用动态规划来解决该问题。具体地，我们设 $f_i$ 表示以 $a_i$ 结尾的由不同相邻元素组成的最长子序列长度。则当 $a_i$ 与 $a_{i-1}$ 不同时，有：

$$ f_i = f_{i-1} + 1 $$

否则，$a_i$ 与 $a_{i-1}$ 相同，我们需要往前找到一个不同于 $a_i$ 的元素 $a_j$，并计算以 $a_j$ 结尾的最长子序列长度。由于我们需要往前查找，因此我们可以使用哈希表来维护每种元素最近出现的位置。设 $g_i$ 表示以 $a_i$ 结尾的最长子序列的前一个元素的下标，则有：

$$ f_i = i - g_i $$

则考虑状态转移方程：

$$ f_i = \begin{cases} f_{i-1} + 1 & (a_i \neq a_{i-1}) \ i - g_{a_i} & (a_i = a_{i-1}, g_{a_i} < i-1) \ 2 & (a_i = a_{i-1}, g_{a_i} = i - 1) \ 1 & (i = 1) \end{cases} $$

时间复杂度为 $O(n)$。

双指针

由于朴素解法和动态规划的时间复杂度较高，我们还可以使用双指针来求解该问题。具体地，我们使用两个指针 $i, j$ 分别表示子序列的左右端点，初始化为 $i=1, j=1$。然后，我们不断右移右指针 $j$，直到遇到一个和当前子序列中的最后一个元素不同的元素。此时，由不同相邻元素组成的最长子序列的右端点应该为 $j-1$，长度为 $j-i$。然后，我们继续右移左指针 $i$，直到左指针右边的元素与最后一个元素也不同为止，然后再次移动右指针。这个过程中，我们可以使用哈希表来记录每种元素最近出现的位置，避免重复查找。

时间复杂度为 $O(n)$。

总结

本文介绍了三种解决该问题的方法，包括朴素解法、动态规划和双指针。其中，双指针是最优解，其时间复杂度为 $O(n)$。在实际应用中，我们应当尽量选择复杂度更低的算法来解决该类问题。