最长子序列，其总和可被给定数整除

问题描述

给定一个整数数组和一个整数k，找到最长的子序列，使其总和可以被k整除。返回子序列的长度，如果不存在这样的子序列，则返回0。

解决方案

Brute Force

暴力枚举所有的子序列，计算它们的和，判断是否能被k整除，时间复杂度为O(2^n)。

def max_subsequence(nums, k):
    n = len(nums)
    res = 0
    for i in range(1, 1 << n):
        s = 0
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                s += nums[j]
        if s % k == 0:
            res = max(res, bin(i).count('1'))
    return res

DP

利用DP求解最长子序列问题，定义状态dp[i][j]表示前i个元素中最长的和能被j整除的子序列长度。转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][(j-nums[i-1]%k+k)%k]+1)

时间复杂度为O(nk)。

def max_subsequence(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [[0] * k for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(k):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][(j-nums[i-1]%k+k)%k]+1)
    return dp[n][0]

总结

本题可以采用暴力或DP的方法来求解，但是暴力方法时间复杂度太高，不能通过本题。DP方法时间复杂度为O(nk)，可以很好地解决问题。