在有限范围的排序数组中查找缺失的数字

在一个有限范围的排序数组中查找缺失的数字是一个常见的问题。假设数组是升序排列的，并且我们知道缺失的数字在一个有限的范围内。那么如何有效地查找到缺失的数字呢？本文将介绍两种解决这个问题的方法：二分查找和计算比较。

二分查找

二分查找算法是一种快速查找有序数组中的元素的算法。它采用了分治思想和迭代策略。下面是二分查找的算法步骤：

1. 首先找到数组的中间元素。
2. 如果中间元素等于缺失数字的上一位或下一位，则说明缺失数字就在这两个数之间，直接返回。
3. 如果中间元素小于缺失数字的上一位，则说明缺失数字在左侧，将右边界移到中间元素的左侧一个位置。
4. 如果中间元素大于缺失数字的下一位，则说明缺失数字在右侧，将左边界移到中间元素的右侧一个位置。
5. 重复步骤1到4，直到找到缺失数字或者左右边界重合。

下面是二分查找的Python代码片段：

def findMissingNumber(nums, left, right):
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] != mid + 1 and \
            (mid == 0 or nums[mid - 1] == mid):
            return mid + 1
        elif nums[mid] == mid + 1:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1

其中，nums是排序数组，left是左边界，right是右边界。

二分查找的时间复杂度是$O(log_2N)$，空间复杂度是$O(1)$，因此效率很高。但是要注意，二分查找只适用于有序数组。

计算比较

另一种解决这个问题的方法是通过计算比较，也就是先计算出1到n的总和，然后减去排序数组中已经出现的数字的总和，最后得到的差就是缺失数字。

下面是计算比较的Python代码片段：

def findMissingNumber(nums):
    n = len(nums) + 1
    expected_sum = n * (n + 1) // 2
    actual_sum = sum(nums)
    return expected_sum - actual_sum

计算比较的时间复杂度是$O(N)$，空间复杂度是$O(1)$，也比较高效。

总结

在有限范围的排序数组中查找缺失的数字是一个常见的问题。本文介绍了两种解决这个问题的方法：二分查找和计算比较。二分查找的时间复杂度是$O(log_2N)$，空间复杂度是$O(1)$；计算比较的时间复杂度是$O(N)$，空间复杂度是$O(1)$。两种方法都非常高效，但是要注意，二分查找只适用于有序数组。