在连续数字的排序数组中查找缺失的元素

问题描述

给定一个从小到大排列的数组，其元素为连续的自然数（例如，[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]），但其中缺失了一个数。请编写一个函数，找出这个缺失的数。

解决方法

方法一

使用“等差数列求和公式”，求出理论上数组中的元素之和，然后减去实际上数组中的元素之和，就能得到缺失的元素。例如，对于数组[1, 2, 3, 4, 6]，理论上其元素之和为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21，而实际上只有1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16，缺失的元素即为21 - 16 = 5。

def find_missing_number(nums):
    n = len(nums) + 1
    expected_sum = n * (n + 1) // 2
    actual_sum = sum(nums)
    return expected_sum - actual_sum

print(find_missing_number([1, 2, 3, 4, 6]))  # 输出 5

上述算法的时间复杂度为O(n)，其中n为数组的长度。虽然它能正确地解决问题，但是会有整型溢出的风险。

方法二

使用二分查找算法，找到缺失的元素。具体地，我们可以观察数组中缺失的元素在哪个位置上。如果缺失的元素不在数组的开头和结尾，那么它前面和后面的元素与索引应该是一一对应的，但是在某个位置上会出现“不对应”的情况，例如对于数组[1, 2, 3, 4, 6]，在索引为4的位置上就出现了不对应的情况。

因此，我们可以通过二分查找算法，找到第一个索引i，使得nums[i] != i + 1。找到这个索引之后，缺失的元素即为i + 1。

def find_missing_number(nums):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] != mid + 1 and (mid == 0 or nums[mid - 1] == mid):
            return mid + 1
        elif nums[mid] != mid + 1:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1

print(find_missing_number([1, 2, 3, 4, 6]))  # 输出 5

上述算法的时间复杂度为O(log n)，其中n为数组的长度。虽然它的时间复杂度比方法一更优秀，但是实际上在大部分情况下，方法一的性能可能更优秀。

综合评价

方法一利用“等差数列求和公式”即可求解，时间复杂度为O(n)，但容易出现整型溢出的问题。方法二使用二分查找算法，时间复杂度为O(log n)，但需要额外的判断条件，代码稍微有些复杂。在实际应用中，应该根据情况选择合适的算法。