排序数组中缺失数字的计数

问题描述

给定一个排序数组，其中元素的取值范围是 $[0, n-1]$。数组中有一些数字丢失了，要求设计一个算法在数组中找到所有缺失的数字。

举例

例如，输入的是 $[0, 1, 3, 5, 6]$，则输出的是 $[2, 4]$。

解决方案

基本思路

这道题目比较简单，只要将 $[0, n-1]$ 的数字逐一查找，并和数组中的元素进行比对。如果和数组中的元素不相等，则说明该数字缺失了。我们可以用一个循环来实现这一过程，时间复杂度为 $O(n)$。

二分查找法

由于数组是排序好的，我们可以采用二分查找法来提高查找的效率。具体来说，我们可以找到数组中第一个元素和下标不相同的位置，该位置的下标就是数组中缺失的第一个数字。我们可以利用二分查找法来找到这个位置，时间复杂度为 $O(logn)$。

代码实现如下：

def get_missing_numbers(nums):
    res = []
    if not nums:
        return res

    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] != mid:
            if mid == 0 or nums[mid - 1] == mid - 1:
                res.append(mid)
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    return res

异或运算法

异或运算法也可以用来解决这个问题。我们可以将数组中的每个元素和其下标进行异或运算，再将 $0$ 到 $n-1$ 中的每个数字分别和数组中的元素进行异或运算。由于相同的数字异或的结果为 $0$，相邻的两个数字的异或结果为 $1$，我们可以获得缺失的数字。

代码实现如下：

def get_missing_numbers(nums):
    res = []
    if not nums:
        return res

    xor = 0
    for i in range(len(nums)):
        xor ^= nums[i] ^ i

    xor ^= len(nums)
    if xor:
        mask = 1
        while xor & mask == 0:
            mask <<= 1

        missing1, missing2 = 0, 0
        for i in range(len(nums)):
            if nums[i] & mask:
                missing1 ^= nums[i]
            else:
                missing2 ^= nums[i]

        for i in range(mask):
            if i & mask:
                missing1 ^= i
            else:
                missing2 ^= i

        if missing1 in nums:
            res.append(missing2)
        else:
            res.append(missing1)

    return res

总结

本题既可以用基本思路法也可以用高效的二分查找法和异或运算法。其中，异或运算法效率最高，时间复杂度为 $O(n)$。公司面试可能会考到这个问题，大家一定要复习好。