对角线公式

对角线公式是用于计算多边形对角线长度的公式。在计算机图形学、计算几何等领域常常用到。

公式

对于一个简单多边形（不自交，无洞），其对角线长度可以由下式计算：

$$d = \sqrt{(x_j - x_i)^2 + (y_j - y_i)^2}$$

其中 $i,\ j$ 是多边形的任意两个不相邻的顶点，$x_i,\ y_i$ 是第 $i$ 个顶点的坐标。

需要对每一对不相邻的顶点都进行一次计算，最终取最大的对角线长度即可。

代码实现

以下为 Python 实现：

import math

def diagonal(polygon):
    n = len(polygon)
    max_d = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+2, n+1):
            dx = polygon[j-1][0] - polygon[i][0]
            dy = polygon[j-1][1] - polygon[i][1]
            d = math.sqrt(dx*dx + dy*dy)
            max_d = max(max_d, d)
    return max_d

该函数接受一个简单多边形（列表形式表示），返回其最长对角线长度。

例如，以下代码将计算一个三角形的最长对角线长度：

polygon = [(0, 0), (1, 1), (2, 0)]
print(diagonal(polygon))  # 输出 2.23606797749979

性质

对角线公式是很基础的计算几何公式，其具有以下性质：

• 对于任意凸多边形，最远点对都是多边形的某个顶点以及与其对称的点。
• 对于任意简单多边形，最远点对都在边界上。

因此，对角线公式在计算凸包、最远点对等问题中都有重要应用。