求解给定矩阵主对角线平行的对角线上元素的最大总和

我们需要解决的问题是求解一个矩阵中主对角线平行的对角线上元素的最大总和。这个问题可以用动态规划的方法来解决。

动态规划

动态规划常常用于在给定的约束条件下优化某种指标。它有以下几个步骤：

1. 定义状态：定义问题的子问题，确定状态的变量，状态表示什么含义。
2. 定义状态转移方程：从子问题的最优解推导出原问题的最优解。
3. 定义初始状态：根据问题的实际情况，确定初始状态。
4. 定义答案：确定最终问题的最优解。

状态定义

我们可以用 $f(i,j)$ 表示对角线从 $(i,j)$ 开始的对角线上的元素的最大总和。那么，最终我们需要求的就是 $f(1,1)$。

状态转移方程

我们可以考虑从每个位置开始向右上方移动，分别累加每个位置的值，直到遇到边界。在每个位置上，我们可以选择继续向右上方移动，或者停止向右上方移动。

因此，状态转移方程为：

$$f(i,j)=\max{f(i-1,j+1),f(i,j+1)}+a_{i,j}$$

其中，$a_{i,j}$ 表示矩阵中 $(i,j)$ 的元素值。

初始状态

因为对角线上的元素至少有一个，所以 $f(i,j)=a_{i,j}$。

求解答案

最终问题的最优解为 $f(1,1)$。

代码实现

def max_sum(matrix):
    m = len(matrix)
    n = len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        dp[i][n-1] = matrix[i][n-1]
    for j in range(n-2, -1, -1):
        for i in range(m):
            if i == 0:
                dp[i][j] = max(dp[i][j+1], dp[i+1][j+1]) + matrix[i][j]
            elif i == m-1:
                dp[i][j] = max(dp[i][j+1], dp[i-1][j+1]) + matrix[i][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j+1], dp[i-1][j+1], dp[i+1][j+1]) + matrix[i][j]
    res = dp[0][0]
    for i in range(1, m):
        res = max(res, dp[i][0])
    return res

上面的代码使用了动态规划的思想，时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$。