n边正多边形的对角线长度介绍

$n$ 边正多边形是指有 $n$ 条边的多边形，每个内角都是 $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$。对角线是指连接不相邻顶点的线段。本文将介绍 $n$ 边正多边形的对角线长度。

对角线的数量

$n$ 边正多边形的对角线数量可以用下式计算：

$$ d = \frac{n(n-3)}{2} $$

其中，$d$ 表示对角线数目。

对角线的长度

$n$ 边正多边形在一般情况下有 $n$ 条对角线。当 $n$ 为偶数时，有特殊性质：连接相邻顶点的对角线长度相等，连接不相邻顶点对角线长度也相等。

我们考虑 $n=4$ 时的情况，如下图所示：

其中， $AC$ 和 $BD$ 表示连接不相邻顶点的对角线，长度为 $d_{out}$；$AB$ 和 $CD$ 表示连接相邻顶点的对角线，长度为 $d_{in}$。显然，我们可以使用正弦定理和余弦定理计算这些长度。

当 $n$ 为奇数时，每条对角线的长度可以计算出来，具体如下：

$$ d = 2 \cdot R \cdot \sin \frac{\pi}{n} $$

其中，$d$ 表示对角线长度，$R$ 表示 $n$ 边正多边形的外接圆半径。这个公式可以通过将正 $n$ 边形划分成 $n$ 个三角形，每个三角形的顶角为 $\frac{2\pi}{n}$，使用正弦定理求解得到。

代码实现

下面是一个 Python 函数，用于计算 $n$ 边正多边形的对角线长度：

import math

def diagonal_length(n, r):
    # 计算对角线长度
    if n % 2 == 0:
        d_in = 2 * r * math.sin(math.pi / n)
        d_out = 2 * r * math.cos(math.pi / n)
        return d_in, d_out
    else:
        d = 2 * r * math.sin(math.pi / n)
        return d

该函数接受两个参数：$n$ 和 $R$，分别表示多边形的边数和外接圆半径。如果 $n$ 为偶数，则计算连接相邻顶点和连接不相邻顶点的对角线长度；如果 $n$ 为奇数，则计算所有对角线的长度。