'n边正多边形的上心点'介绍

简介

上心点是一个多边形的特殊点，是多边形内角三分线上的点，它同时也是多边形的重心和垂心的交点。对于一个n边正多边形而言，其上心点也就是多边形中心点，即圆心。

在计算几何和图形学中，上心点是非常重要的概念，它可以用于许多问题的解决，例如平面图形的位置判断、多边形旋转、内切圆外接圆半径计算等。

计算方法

对于一个n边正多边形而言，其上心点坐标可通过以下公式求得：

x = 0
y = 0

for i in range(n):
    x += cos(2 * pi * i / n)
    y += sin(2 * pi * i / n)

x /= n
y /= n

其中，n表示正多边形的边数。

应用举例

多边形旋转

以正方形为例，假设已知正方形的上心点坐标以及旋转角度，可以通过以下代码实现正方形的旋转：

theta = radians(30)  # 旋转角度

xc = 0  # 上心点横坐标
yc = 0  # 上心点纵坐标

# 将正方形平移到原点
x1 = -1
y1 = -1

x2 = 1
y2 = -1

x3 = 1
y3 = 1

x4 = -1
y4 = 1

# 旋转角度
x1_new = (x1 - xc) * cos(theta) - (y1 - yc) * sin(theta) + xc
y1_new = (x1 - xc) * sin(theta) + (y1 - yc) * cos(theta) + yc

x2_new = (x2 - xc) * cos(theta) - (y2 - yc) * sin(theta) + xc
y2_new = (x2 - xc) * sin(theta) + (y2 - yc) * cos(theta) + yc

x3_new = (x3 - xc) * cos(theta) - (y3 - yc) * sin(theta) + xc
y3_new = (x3 - xc) * sin(theta) + (y3 - yc) * cos(theta) + yc

x4_new = (x4 - xc) * cos(theta) - (y4 - yc) * sin(theta) + xc
y4_new = (x4 - xc) * sin(theta) + (y4 - yc) * cos(theta) + yc

# 绘制旋转后的正方形
draw_polygon([(x1_new, y1_new), (x2_new, y2_new), (x3_new, y3_new), (x4_new, y4_new)])

内切圆半径计算

对于n边正多边形而言，其内切圆半径也可以通过上心点坐标计算得出：

r = sqrt(2 / (n * (1 + cos(2 * pi / n))))

其中，n表示正多边形的边数。

结论

上心点是n边正多边形中心点，计算方法简单，应用广泛，对于程序员而言，熟练掌握上心点的计算和应用，可以大大提高程序的效率和准确性。