通过连接顶点将n + 2边的凸多边形分割为三角形的方式的数量

在计算机科学中，计算多边形中的三角形数是一个经典的问题。

考虑一个n + 2边的凸多边形，其中n是多边形顶点数。我们要把多边形分割成三角形。问题是，有多少种不同的方式可以这样做？

这个问题有两种非常不同的方法解决：递归和动态规划。我们将介绍这两种方法。

递归方法

首先，让我们考虑一个三角形。一个三角形只有一种分割方式，即连接三个顶点。

对于一个n边形，我们可以选择任意一个顶点连接另外两个顶点，这样可以将这个n边形分为两个小的多边形，一个是n-1边形，另一个是一个三角形。我们可以递归地应用这个过程，直到我们只有三角形。在每个步骤中，我们都可以选择任何一个顶点来连接两个其他顶点。因此，总的分割方式数量为nC2，即n(n-1)/2。

递归方法的Python代码如下：

def count_triangle_recursive(n):
    if n == 3:
        return 1
    return (n - 2) + count_triangle_recursive(n - 1)

动态规划方法

递归方法看起来很自然，但它的时间复杂度是指数级的。这时，我们可以考虑使用动态规划方法。

我们可以定义一个数组count[i][j]，其中i和j是多边形上的两个顶点。count[i][j]表示连接i和j分割多边形的三角形数。

然后，我们可以按以下方式填充这个数组：

1. 对于任何三角形，count[i][j]等于1。
2. 对于任何其他情况，count[i][j]等于sum(count[i][k] * count[k][j])，其中k在i和j之间移动。

这个方法的时间复杂度为O(n^3)。

动态规划方法的Python代码如下：

def count_triangle_dp(n):
    count = [[0] * n for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        count[i][(i+1)%n] = 1

    for length in range(2, n):
        for i in range(n):
            j = (i + length) % n
            for k in range(i+1, j):
                count[i][j] += count[i][k] * count[k][j]

    return count[0][n-1]

结论

递归方法虽然简单，但时间复杂度太高，只能用于小的n值。反之，动态规划方法虽然比较复杂，但时间复杂度是可控的，可以用于大的n值。