通过将n边多边形的顶点与一个边共同连接而形成的三角形数量

当我们将n边多边形的顶点与一个边连接起来后，会得到一系列的三角形。那么究竟有多少个三角形呢？

思路分析

我们可以通过如下步骤来解决这个问题：

1. 选择一个顶点作为固定的端点。
2. 从这个顶点开始，以顺时针或逆时针的方向依次选择相邻的两个顶点，形成一条边。
3. 将这条边与固定的端点连接起来，形成一个三角形。

我们需要选择的两个顶点的个数是n-2个，因为去掉了固定的端点和连接这个端点的边所在的顶点。于是三角形的数量就是(n-2)个。但是，这个结果还不太完整。

边界情况

在上面的过程中，我们可能会遇到一些边界情况。比如：

• 当n<3时，无法形成任何三角形。
• 当n=3时，只能形成一个三角形。
• 当n=4时，可以形成两个三角形。
• 当n=5时，可以形成四个三角形。

我们可以通过计算这些边界情况来验证我们的思路是否正确。

其他情况

对于这些边界情况之外的情况，我们可以继续考虑。假设我们选择了一个顶点作为固定的端点，那么可以联系上面的步骤，在剩余的n-1个顶点中选择两个顶点来形成边。根据组合学的知识，这个选择的方案有C(n-1,2)种。也就是说，针对每一个顶点作为固定的端点，有C(n-1,2)个三角形。总的三角形数量就是n*C(n-1,2)。

代码实现

def triangle_num(n):
    if n < 3:
        return 0
    elif n == 3:
        return 1
    elif n == 4:
        return 2
    else:
        return n * (n - 1) * (n - 2) / 6

print(triangle_num(3))  # 1
print(triangle_num(4))  # 2
print(triangle_num(5))  # 4
print(triangle_num(6))  # 9

结论

通过将n边多边形的顶点与一个边共同连接而形成的三角形数量，可以用以下公式计算：

$$ triangle_num(n) = \begin{cases} 0, & {n < 3}\ 1, & {n = 3}\ 2, & {n = 4}\ n * (n - 1) * (n - 2) / 6, & {n > 4} \end{cases} $$

其中，n为多边形的边数。