给定N点可以形成的三角形数量

三角形数量是我们在计算几何问题中常常需要求解的一个问题，对于给定 $N$ 个点，我们需要计算它们可以组成的三角形数量。在这篇文章中，我们将介绍两种计算该问题的方法，并给出相应的代码实现。

方法一：暴力法

暴力枚举法是最朴素的解决方法，我们可以利用三重循环枚举所有可能的三个点，判断这三个点是否能组成一个三角形。

代码如下：

def triangle_num(points):
    n = len(points)
    cnt = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            for k in range(j+1, n):
                if (points[k][1]-points[i][1])*(points[j][0]-points[i][0]) \
                   != (points[j][1]-points[i][1])*(points[k][0]-points[i][0]):
                    cnt += 1
    return cnt

时间复杂度：$O(N^3)$

方法二：优化算法

我们可以进一步优化上述算法，利用计算几何的知识，将算法的时间复杂度降到 $O(N^2\log N)$ 或 $O(N^2)$。

我们可以将所有点按照 $x$ 坐标从小到大排序，然后枚举每一对点，并在其右边查找符合条件的第三个点。为了减少查找的时间，我们可以将第三个点的 $y$ 坐标保存在一个有序集合中，利用有序集合二分查找的时间复杂度为 $O(\log N)$。

代码如下：

from bisect import bisect_left

def triangle_num(points):
    points.sort()
    n = len(points)
    cnt = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            k = bisect_left(points, (points[j][0]+points[i][0], points[i][1]))
            while k < n and points[k][0] == points[i][0]+points[j][0]:
                if (points[k][1]-points[i][1])*(points[j][0]-points[i][0]) \
                   != (points[j][1]-points[i][1])*(points[k][0]-points[i][0]):
                    cnt += 1
                k += 1
    return cnt

时间复杂度：$O(N^2\log N)$ 或 $O(N^2)$（取决于具体实现）

结论

在实际问题中，应该按照实际需要选择合适的算法。如果数据规模较小，可以采用暴力枚举法；如果数据规模较大，应该选择优化算法来提高效率。