将N分成三元组以形成三角形的方法数量

当需要将一个整数N分成三个非负整数的三元组时，我们可以考虑用动态规划的方法来解决这个问题。我们可以用dp[i][j][k]表示将N=i+j+k分成三个非负整数，其中第一个数不小于j，第二个数不小于k，且i <= j + k，的情况下，可以形成三角形的方法数量。

对于dp[i][j][k]，我们可以考虑以下三种情况：

1. i >= j + k，此时不能形成三角形，方法数量为0。

2. i < j + k，此时可以形成三角形，方法数量为(i-j-k+1)*(i-j-k+2)/2。

3. 三元组不满足要求，方法数量为0。

最后，dp[N][0][0]即为所求的答案。

以下是Python代码实现：

def count_triangles(N):
    dp = [[[0] * (N+1) for _ in range(N+1)] for _ in range(N+1)]
    for i in range(N+1):
        for j in range(N+1):
            for k in range(N+1):
                if i >= j + k:
                    dp[i][j][k] = 0
                elif i < j + k:
                    dp[i][j][k] = (i-j-k+1)*(i-j-k+2)//2 if i >= k and j >= k else 0
                else:
                    dp[i][j][k] = 0
    return dp[N][0][0]

以上代码的时间复杂度为$O(N^3)$。