给定 N 个顶点，树的可能数量

在组合数学中，给定 $n$ 个不同的节点，有多少种可以构成树的方法？也就是说，有多少种不同的无向图是连通的，且不包含环的。

让我们看看一些小树来更好地理解这个问题：

• 当 $n = 1$ 时，只有一个节点，只有一棵树。
• 当 $n = 2$ 时，只有两个节点，只有一棵树。
• 当 $n = 3$ 时，有三种树，如下图所示：

• 当 $n = 4$ 时，有 3 种形状的树，共有 6 棵树：

• 当 $n = 5$ 时，有三种形状的树，共有 30 棵树：

• 当 $n = 6$ 时，有 6 种形状的树，共有 156 棵树：

可以发现，对于每个 $n$，都有一种不同数量的树。我们如何计算这个数量呢？

推导公式

让我们使用递推公式来求出树的数量。设 $C_n$ 是具有 $n$ 个不同的节点的树的数量。

我们可以把一个具有 $n$ 个节点的树看成两部分：根节点和根节点 的所有子树。

考虑如下情况：

如果在上面的树中移动根节点（黄色的节点），我们会得到 $n$ 种不同的树。这是因为任何节点都可以成为根节点。

接下来考虑根节点的所有子树。

如果根节点没有子树，那么 $C_n$ 只是单个节点，所以 $C_1=1$。

对于根节点具有子树，我们可以把子树分成若干组。因为没有环，每个组都是一个树，并且这个组是由其根节点与外部网络相连，而组内部可能存在其他点。

对于每组内的节点数量，我们又可以把其看出一个子问题。换句话说，我们可以通过将组内节点作为一个整体，来计算每一组的贡献。

例如，考虑以下树：

这颗树从根节点开始，它有两个子树。左边有一个节点，右边有两个。我们可以考虑左边的子树。它只有一个节点，所以贡献为 $C_1=1$。

现在考虑右边的子树。它有两个节点，贡献为 $C_2$。这两个子问题已经独立处理，我们将它们的乘积作为这组的贡献。

因此，我们可以使用以下递归公式计算 $C_n$：

$$ C_n = \sum_{i=1}^n C_{i-1}C_{n-i} $$

注意到这是一个卡特兰数。

代码实现

现在我们来给出一个 Python 实现。我们需要计算 $C_0$ 到 $C_n$，这可以通过 Python 的列表来实现。

def catalan(n):
    if n <= 1:
        return 1
    c = [0] * (n + 1)
    c[0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i):
            c[i] += c[j] * c[i - j - 1]
    return c[n]

这个函数计算 $C_n$ 的复杂度为 $O(n^2)$。

如果你不关心具体的解，可以使用通向公式，其复杂度为 $O(1)$：

$$ C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} $$

这个公式计算 $C_n$ 的时间复杂度为 $O(1)$。相反，额外的空间复杂度是 $O(n)$。

结论

无论哪种方法，卡特兰数都是已知的最快增长的计数序列，其增长速度大约为 $4^n$，其排名在 OEIS 序列 A000108 中的第一项。

现在你可以很容易地计算一个小树的数目。