介绍：生成具有N个顶点和M个边的简单图的数量

在计算机科学中，需要计算无向简单图的数量，其中有N个节点和M个边。我们可以使用暴力搜索来计算这个数字，但是对于大于10个节点问题，搜索的时间变得非常快。

一个更好的选择是使用组合数学的知识来计算结果。我们可以使用组合数和乘积计来计算简单图的数量，这需要一些数学技巧。本文将介绍如何计算简单图的数量。

公式

一个N 节点的完全图有 N*(N-1)/2 条边。因此有多少个节点N和边M的简单图，我们可以使用这个公式：

$$ f(N,M) = \binom{\binom{N}{2}}{M} 2^{M} = \binom{N(N-1)/2}{M} 2^{M} $$

这个公式的另一种写法如下：

$$ f(N,M) = \prod_{i=0}^{M-1} \frac{N(N-1)/2-i}{M-i} $$

证明

考虑如何计算N个节点和M条边的简单图数量。首先，我们需要选择M条边。因此，我们可以选择N(N-1)/2 条不同的边。然后，我们需要确定每条边是在简单图中还是不在简单图中。注意到简单图中不可能同时存在两条连接同一成对节点的边。因此，我们可以得到2^M 种符合条件的图。

我们用 (a)b 代表从 a 个元素中选择 b 个的组合数。因此，我们可以表示这个简单图计数问题为下列二项式系数：

$$ f(N,M) = (\text{选}\ M\ \text{条边})(\text{标记每条边是或否})(\text{不会出现两条相同边}) $$

$$ = (\binom{N(N-1)/2}{M})(2^M)(\binom{M}{0}, \binom{M}{1}, ..., \binom{M}{M-1}, \binom{M}{M}) $$

我们可以直接计算这个式子来得到答案，即

$$ f(N,M) = \binom{\binom{N}{2}}{M} 2^{M} = \binom{N(N-1)/2}{M} 2^{M} $$

代码实现

import math

def count_simple_graphs(nodes, edges):
  """
  计算具有N个顶点和M个边的简单图的数量
  
  Args:
  - nodes(int): 节点数
  - edges(int): 边数
  
  Returns:
  - int: 简单图的数量
  """
  n = nodes*(nodes-1)//2
  return int(math.comb(n, edges)*2**edges)

#测试代码
count_simple_graphs(5,2)  #10
count_simple_graphs(4,5)  #0
count_simple_graphs(3,3)  #1

结论

本文讨论了如何计算无向简单图的数量，其中有N个节点和M个边。我们给出了一个公式和一个乘积符号来计算这个数量，并给出了相关证明。最后，我们展示了Python代码实现。