在有向图和加权图中具有恰好为k个边的最短路径

简介

在有向图和加权图中，寻找恰好含有k条边的最短路径是一个常见且具有实际意义的问题。在许多实际应用场景中，我们需要在网络中寻找恰好包含k条边的最短路径，例如寻找恰好k次转机的航班路线。

解法

在一般的加权有向图中，求恰好包含k条边的最短路径需要使用动态规划的方法。设 $dist[i][j]$ 表示以i为终点且恰好经过j条边时的最短路径长度，则有：

$$dist[i][j] = \min_{(x,i)\in E}{dist[x][j-1]+w(x,i)}$$

其中$E$表示有向边集合，$w(x,i)$表示从$x$到$i$的边的边权。由于只需要恰好包含k条边的最短路径，因此状态转移方程中，只需要考虑恰好包含j-1条边的路径并到达节点$i$的路径长度即可。

具体来说，相当于用上一轮的状态，加上所有能够到达当前节点的节点的边权，并在其中取最小值。

边界条件为：

$$dist[s][0] = 0$$

即起点到自身的路径长度为0。

根据上述状态转移方程，动态规划算法时间复杂度为 $O(km)$，其中$m$为网络中边的数量。

代码实现

下面是用Python实现的示例代码：

def shortest_path(graph, s, t, k):
    # 动态规划数组
    dist = [[0x7fffffff for _ in range(k+1)] for _ in range(len(graph))]
    # 初始化起点状态
    for i in range(k+1):
        dist[s][i] = 0
    # 状态转移
    for j in range(1, k+1):
        for i in range(len(graph)):
            for x, w in graph[i]:
                dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[x][j-1]+w)
    return dist[t][k]

在上述代码中，输入参数graph表示加权有向图，使用邻接表的方式存储。参数s表示起点，参数t表示终点，参数k表示恰好包含的边数。输出结果为起点到终点恰好包含k条边的最短路径长度。

总结

本文介绍了在有向图和加权图中寻找恰好包含k条边的最短路径的动态规划算法，并给出了Python代码实现。该算法在实际应用中具有广泛的应用价值。