有向图和加权图中具有恰好为k的边的最短路径|套装2

本文介绍了有向图和加权图中如何找出具有恰好为k的边的最短路径。

定义

假设有一个带权图G = (V, E)，其中V是一组顶点，E是一组边，每条边e的权重为w(e)。定义从顶点u到v的距离为路径上所有边的权重之和，记作dist(u, v)。

为了寻找具有恰好为k的边的最短路径，我们需要找到从源点s到目标点t的路径，该路径经过恰好k条边并且路径长度最小。如果不存在这样的路径，则说明没有从源点到目标点的恰好k条边的路径。

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法是一个用于解决最短路径问题的算法，它可以处理负权边，并且可以检测图中是否存在负权环。下面是Bellman-Ford算法的伪代码：

def Bellman_Ford(G, s):
    dist[s] = 0
    for i in range(1, n):
        for (u, v, w) in E:
            if dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                prev[v] = u
    for (u, v, w) in E:
        if dist[u] + w < dist[v]:
            return "Graph contains negative weight cycle"
    return dist, prev

其中，G是图的表示，s是源点，n是节点数，E是边的集合，dist是从源点到各个点的距离，prev表示到达每个点的前一个点。

对于本问题，我们可以修改Bellman-Ford算法来寻找具有恰好为k的边的最短路径。我们可以使用一个dist_s_k数组来存储从源点到每个点经过恰好k条边时的最短路径长度，具体伪代码如下所示：

def Bellman_Ford_k(G, s, k):
    n = len(G)
    dist_s_k = [float('inf')] * n
    dist_s_k[s] = 0
    for i in range(1, k+1):
        dist_s_k_new = [float('inf')] * n
        for (u, v, w) in G.E:
            if dist_s_k[u] + w < dist_s_k_new[v]:
                dist_s_k_new[v] = dist_s_k[u] + w
        dist_s_k = dist_s_k_new
    return dist_s_k[t] if dist_s_k[t] != float('inf') else -1

其中，s是源点，k是边数限制，n是节点数，E是边的集合，dist_s_k表示从源点到每个点经过恰好k条边时的最短路径长度。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是另一种常用的解决最短路径问题的算法，它可以在处理非负权边时比Bellman-Ford算法更快。下面是Dijkstra算法的伪代码：

def Dijkstra(G, s):
    dist[s] = 0
    Q = PriorityQueue()
    Q.put((dist[s], s))
    while not Q.empty():
        (d, u) = Q.get()
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        for (v, w) in G.adj[u]:
            if dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                prev[v] = u
                Q.put((dist[v], v))
    return dist, prev

其中，G是图的表示，s是源点，dist是从源点到各个点的距离，prev表示到达每个点的前一个点，adj是邻接表，visited记录是否访问过该点。

对于本问题，我们也可以使用Dijkstra算法来解决。我们可以使用一个dist_s_k数组来存储从源点到每个点经过恰好k条边时的最短路径长度，具体伪代码如下所示：

def Dijkstra_k(G, s, k):
    n = len(G)
    dist_s_k = [[float('inf')] * (k+1) for _ in range(n)]
    dist_s_k[s][0] = 0
    Q = PriorityQueue()
    Q.put((0, s, 0))
    while not Q.empty():
        (d, u, cnt) = Q.get()
        if dist_s_k[u][cnt] < d:
            continue
        for (v, w) in G.adj[u]:
            if cnt + 1 <= k and dist_s_k[u][cnt] + w < dist_s_k[v][cnt+1]:
                dist_s_k[v][cnt+1] = dist_s_k[u][cnt] + w
                Q.put((dist_s_k[v][cnt+1], v, cnt+1))
    return dist_s_k[t][k] if dist_s_k[t][k] != float('inf') else -1

其中，s是源点，k是边数限制，n是节点数，adj是邻接表，dist_s_k表示从源点到每个点经过恰好k条边时的最短路径长度，Q是优先级队列，cnt表示当前已经使用了几条边。