无向加权图中最短路径的数量

在图论中，最短路径是指在一个加权图中，从起点到终点最小化路径权值和的路径。但如果存在多条最短路径，我们还需要考虑它们的数量。本文将介绍如何计算无向加权图中最短路径的数量。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是求解单源最短路径的经典算法，它基于贪心策略，每次选择当前最短的路径扩展。在Dijkstra算法中，我们可以通过维护一个前驱关系表来计算最短路径的数量。前驱关系表表示某个节点在最短路径中是由哪个节点扩展而来。对于起点而言，前驱节点为空。如果某个节点存在多个前驱节点，则表示存在多条最短路径。我们可以通过动态规划的方式计算前驱节点表。

Floyd算法

Floyd算法是求解多源最短路径的经典算法，它利用动态规划思想，通过中间节点的枚举来不断更新最短路径。在Floyd算法中，我们可以通过动态规划的方式计算最短路径的数量。

代码实现

下面展示Python实现无向加权图中最短路径数量的代码。

import sys


def dijkstra(graph, start):
    n = len(graph)
    dist = [sys.maxsize] * n
    dist[start] = 0
    cnt = [1] * n
    q = set([i for i in range(n)])
    prev = [None] * n
    while q:
        u = min(q, key=lambda x: dist[x])
        q.remove(u)
        for v, w in graph[u]:
            alt = dist[u] + w
            if alt < dist[v]:
                dist[v] = alt
                cnt[v] = cnt[u]
                prev[v] = [u]
            elif alt == dist[v]:
                cnt[v] += cnt[u]
                prev[v].append(u)
    return cnt, prev


def floyd(graph):
    n = len(graph)
    dist = [[sys.maxsize] * n for _ in range(n)]
    cnt = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j, w in graph[i]:
            dist[i][j] = w
            cnt[i][j] = 1
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]:
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]
                    cnt[i][j] = cnt[i][k] * cnt[k][j]
                elif dist[i][k] + dist[k][j] == dist[i][j]:
                    cnt[i][j] += cnt[i][k] * cnt[k][j]
    return cnt


def shortest_path_num(graph, start, end):
    cnt, prev = dijkstra(graph, start)
    return cnt[end]


# Example usage:
graph = [[(1, 1), (2, 3)],
         [(0, 1), (2, 1), (3, 2)],
         [(0, 3), (1, 1), (3, 1)],
         [(1, 2), (2, 1)]]
print(shortest_path_num(graph, 0, 3))  # Output: 2

cnt = floyd(graph)
print(cnt[0][3])  # Output: 2

上述代码中，我们实现了基于Dijkstra算法和Floyd算法的计算最短路径数量的函数。在最短路径长度相同时，Dijkstra算法可以直接计算出路径数量，而Floyd算法需要额外的计算量。