在有向和加权图中具有恰好 k 条边的最短路径

在有向和加权图中，我们通常使用最短路径算法来找到从一个节点到另一个节点的最短路径。但是，有时我们需要找到恰好有 k 条边的最短路径。这种问题有很多实际应用，比如在城市道路中找到恰好 k 条街道的最短路线。

问题描述

假设有一个有向和加权的图 G=(V,E)，其中 V 是节点集合，E 是边集合。每条边 (u,v,w) 都是从节点 u 到节点 v 的有向边，它的权重为 w。给定起点 s 和终点 t，以及一个正整数 k，找到从 s 到 t 的恰好有 k 条边的最短路径。

解决方案

状态表示

我们可以使用动态规划来解决这个问题。假设 f[i][j] 表示从 s 到节点 i，恰好经过 j 条边的最短路径长度。因为我们需要找到恰好经过 k 条边的最短路径，所以最终的答案就是 f[t][k]。在这里，我们需要注意的是，当 j>=k 时，f[i][j] 的值没有意义。

状态转移方程

接下来，我们需要考虑如何进行状态转移。显然，我们需要从 f[i][j-1] 转移过来，在所有从节点 i 可以到达的节点 j-1 中找到最短的一条路径，并加上该路径的长度。因此，状态转移方程可以表示为：

f[i][j] = min{ f[u][j-1] + w(u,i) } (i in V, u in predecessors of i)

其中，predecessors of i 表示所有可以到达节点 i 的节点的集合，w(u,i) 表示从节点 u 到节点 i 的边的权重。我们需要对所有的 i 进行状态转移，从 f[s][0] 一直转移到 f[t][k]。

时间复杂度

由于我们需要对所有的 i 进行状态转移，最终的时间复杂度为 O(|V|*k)，其中 |V| 表示节点的个数。

代码实现

下面是一个简单的 Python 代码实现。

def shortest_path_with_k_edges(graph, s, t, k):
    n = len(graph)
    f = [[float('inf')] * (k+1) for i in range(n)]
    f[s][0] = 0
    for j in range(1, k+1):
        for i in range(n):
            for u in range(n):
                if graph[u][i] != float('inf'):
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[u][j-1]+graph[u][i])
    return f[t][k]

这段代码中，我们首先创建一个大小为 n*(k+1) 的数组 f，初始化为正无穷。然后，我们将起点 s 的 f 值设为 0，并从 j=1 到 k，从 i=0 到 n-1，从 u=0 到 n-1 进行三层循环，根据状态转移方程求解 f[i][j]。最终，我们返回 f[t][k]。

总结

在有向和加权图中找到恰好经过 k 条边的最短路径，可以使用动态规划的方法，时间复杂度为 O(|V|*k)。在实际应用中，这个问题有很多应用，比如城市交通规划、网络路由等。