寻找对的数量，使得路径上包含点A和B

问题描述

给定一张无向图，其中每条边权均为1。求包含起点A和终点B的路径数量。注意，路径不需要是简单路径，也可以经过某个点多次。

解题思路

该问题可以使用动态规划求解。设$dp[i][j]$表示以$i$为起点，以$j$为终点的路径数量。

对于任意$i,j$：

• 当$i=j$时，显然路径数量为1。
• 当$i\neq j$时，$$ dp[i][j]=\sum_{k=1}^n dp[i][k]\times dp[k][j] $$

其中$n$为图中节点数目。

最终答案为$dp[A][B]$。

代码实现

def find_path_num(graph, A, B):
    """
    :param graph: 图的邻接矩阵表示
    :param A: 起点A
    :param B: 终点B
    :return: 包含起点A和终点B的路径数量
    """
    n = len(graph)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    # 初始化
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if graph[i][j] == 1:
                dp[i][j] = 1
                
    # 动态规划状态转移
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                dp[i][j] += dp[i][k] * dp[k][j]
    
    return dp[A][B]

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^3)$，其中$n$为图中节点数目。

空间复杂度：$O(n^2)$。