查找两个顶点之间的最大边不相交路径数

在一个无向图中，如果我们需要查找两个顶点之间的最大边不相交路径数，一种常用的算法是通过动态规划来实现。

我们定义 $D(i,j)$ 表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的最大边不相交路径数。那么，我们需要找到一种更新 $D(i,j)$ 的方式，使得算法具有最优子结构性质，即对于任意 $i, j, k \in [1,n]$，其中 $n$ 表示图中顶点的个数，满足以下条件：

• 若顶点 $k$ 不在顶点 $i$ 和顶点 $j$ 的最大边不相交路径上，则 $D(i,j)$ 不会因为 $k$ 的引入而改变。
• 若顶点 $k$ 在顶点 $i$ 和 $j$ 的最大边不相交路径上，则更新 $D(i,j)$ 的方式必须满足 $D(i,j) = \max{(D(i,k) + D(k,j) + 1, D(i,j))}$。

其中，$D(i,k) + D(k,j) + 1$ 表示顶点 $i$ 和顶点 $j$ 经过顶点 $k$ 连接的最大边不相交路径数。最终，我们需要求的就是 $D(s,t)$，其中 $s$ 和 $t$ 分别表示两个需要查找最大边不相交路径数的顶点。

下面是该算法的Python实现：

from typing import List

def max_edge_disjoint_path(graph: List[List[int]], s: int, t: int) -> int:
    n = len(graph)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if i != k and j != k and i != j:
                    if graph[i][k] and graph[k][j]:
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + 1)
    return dp[s][t]

该算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 表示图中顶点的个数。