最大相交点 n 个圆

在一个平面内，最多可以有 n 个圆相交，找出这些圆的交点位置是一个经典的计算几何问题。本文将介绍如何使用计算几何的基本算法解决这个问题。

圆的交点

两个圆的交点有两个或者一个。当两个圆相离时，它们没有交点；当两个圆相切时，它们有一个交点；当两个圆相交时，它们有两个交点。

当两个圆相交时，可以使用勾股定理计算出交点的位置。设两圆圆心为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$，它们的交点为 $(x,y)$，则有以下方程：

$$ \begin{cases} (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r_1^2 \ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = r_2^2 \end{cases} $$

对于 $x$ 和 $y$，有以下公式:

$$ \begin{cases} x = \dfrac{(r_1^2 - r_2^2) + (x_2^2 - x_1^2) + (y_2^2 - y_1^2)}{2(x_2 - x_1)} \ y = \dfrac{\pm \sqrt{4r_1^2(x_2 - x_1)^2 + 4r_2^2(x_2 - x_1)^2 - (r_1^2 - r_2^2 + (x_2^2 - x_1^2) + (y_2^2 - y_1^2))^2}}{2(x_2 - x_1)} \end{cases} $$

其中 $y$ 有两个解，分别对应着两个交点。

最大相交点数

给定 n 个圆，要找到它们相交的最大点数。一种简单的方法是对每一对圆求出交点，并计算交点的数量。然而，这个方法的时间复杂度为 $O(n^3)$，当 n 的值较大时，效率会极低。

另一种更好的方法是使用扫描线算法。将圆投射到一个坐标轴上，将它们的左右端点视为事件点，按照坐标轴上的位置排序。通过对事件点的遍历，我们可以保证在横坐标上相邻的事件点对应的圆的交点是按顺序产生的，因此避免了对每一对圆进行计算的重复。

具体实现时，需要将事件点分为两种类型：圆的左端点和右端点。对于圆的左端点，需要将圆加入扫描线中；对于圆的右端点，需要将圆从扫描线中删除。每当加入或删除了一个圆时，需要计算当前扫描线上所有圆的交点，并更新最大交点数。

该算法的时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$，其中 $n^2$ 为事件点的数量，$\log n$ 为每次插入或删除操作的时间复杂度。

下面是使用 Python 语言实现的扫描线算法：

from typing import List
import heapq

def max_intersection_points(circles: List[Tuple[float, float, float]]) -> int:
    events = []
    for x, y, r in circles:
        events.append((x - r, 1))
        events.append((x + r, -1))
    events.sort()
    max_points = 0
    heap = []
    for x, val in events:
        if val == 1:
            for yr, r in heap:
                delta_x = (r ** 2 - (x - yr) ** 2) ** 0.5
                events.append((x + delta_x, 1))
                events.append((x - delta_x, -1))
            heapq.heappush(heap, (x, abs(val)))
        else:
            heapq.heappop(heap)
        max_points = max(max_points, len(heap))
    return max_points

总结

本文介绍了使用计算几何的基本算法解决最大相交点 n 个圆的问题。与朴素的方法相比，扫描线算法具有较高的时间效率，对于大规模数据的处理具备更强的实用性。