完整图的最大可能边不相交生成树

什么是完整图？

完整图是一个图论中的概念，指所有可能的边都存在的无向图。也就是说，如果一个图有n个顶点，那么它的完整图就有 $C_n^2$ 条边。

什么是生成树？

生成树是一个无向图的子图，它包含了所有的节点，但是只包含了这些节点的一部分边，且没有环。

最大可能边不相交生成树是什么？

最大可能边不相交生成树是指，对于一个完整图，从中选出最多的边来构成一颗生成树，使得这些边不相交。

如何实现最大可能边不相交生成树？

1. Kruskal算法

Kruskal算法是一种贪心算法，它的思路是从小到大依次选择边，并检查是否会形成环路，如果不会形成环路就选中这条边。

具体实现如下：

def kruskal(n, edges):
    # 初始化并查集
    parent = [i for i in range(n)]
    rank = [0] * n

    # 按照边的权重从小到大排序
    edges.sort(key=lambda x: x[2])

    # 初始化生成树的边数和权重
    mst_edges = []
    mst_weight = 0

    for edge in edges:
        # 获取边的两个端点
        u, v, weight = edge

        # 查找两个端点的根节点
        while u != parent[u]:
            parent[u] = parent[parent[u]]
            u = parent[u]
        while v != parent[v]:
            parent[v] = parent[parent[v]]
            v = parent[v]

        # 如果两个端点的根节点不同，则将它们合并
        if u != v:
            if rank[u] < rank[v]:
                u, v = v, u
            parent[v] = u
            rank[u] += rank[u] == rank[v]
            mst_edges.append(edge)
            mst_weight += weight

    return mst_edges, mst_weight

2. Prim算法

Prim算法也是一种贪心算法，它的思路是从一个随机的点开始，依次向外延伸，选择权重最小的边，直到覆盖所有节点为止。

具体实现如下：

def prim(n, edges):
    # 初始化邻接表
    graph = defaultdict(list)
    for u, v, weight in edges:
        graph[u].append((v, weight))
        graph[v].append((u, weight))

    # 初始化最小堆
    heap = [(0, 0)]
    heapq.heapify(heap)

    # 初始化visited数组
    visited = [False] * n
    visited[0] = True

    # 初始化生成树的边数和权重
    mst_edges = []
    mst_weight = 0

    while heap:
        # 获取当前最小的边
        weight, u = heapq.heappop(heap)

        # 如果该节点已经被访问过了，则继续下一轮循环
        if visited[u]:
            continue

        # 将当前节点标记为已访问
        visited[u] = True

        # 更新生成树的边数和权重
        mst_edges.append((u, parent[u]))
        mst_weight += weight

        for v, weight in graph[u]:
            # 如果该节点已经被访问过了，则继续下一轮循环
            if visited[v]:
                continue
            heapq.heappush(heap, (weight, v))

    return mst_edges, mst_weight

总结：

以上两种算法均可以实现最大可能边不相交生成树，具体使用哪种算法取决于具体的场景和实现方式。