不相交集数据结构

不相交集数据结构（Disjoint-set data structure）是一种用于管理分组（组合）的数据结构。它支持以下两个操作：

• Find(x)：查找元素 x 所在的组的标识符（唯一标识某个组的元素，例如组长或者组名）。
• Union(x, y)：将元素 x 和元素 y 所在的组合并成一个组。

实现

Quick Find

Quick Find 算法使用整数数组 id[] 来存储分组信息，其中 id[i] 表示 i 所在的分组标识符。使用 Quick Find 算法实现 Find 操作时间复杂度为 O(1)，实现 Union 操作则需要遍历数组一次，时间复杂度为 O(N)。

Quick Union

Quick Union 算法使用整数数组 id[] 来存储分组信息，其中 id[i] 表示 i 的父节点。一次 Union 操作会先找到两个元素的祖先节点，然后将一个祖先节点的父节点设置为另一个祖先节点，从而将两个元素所在的树合并为一棵树。使用 Quick Union 算法实现 Find 和 Union 操作的时间复杂度取决于树的高度。当树呈现链状结构时，Find 操作的时间复杂度为 O(N)，Union 操作的时间复杂度为 O(1)；当树均衡时，Find 操作和 Union 操作的时间复杂度都将为 O(logN)。

Weighted Quick Union

Weighted Quick Union 算法在每个节点上维护一个大小，表示该节点所在的树包含的元素个数。在进行 Union 操作时，将 smaller tree（元素更少的树）的根节点连接到 larger tree（元素更多的树）的根节点，从而保证较小的树始终被连接到较大的树上。使用 Weighted Quick Union 算法实现 Find 和 Union 操作的时间复杂度基本上都是 O(logN)。

代码示例

Quick Find

class QuickFind:
    def __init__(self, n: int):
        self.id = list(range(n))
    
    def find(self, p: int) -> int:
        return self.id[p]
    
    def union(self, p: int, q: int) -> None:
        pid = self.id[p]
        qid = self.id[q]
        for i in range(len(self.id)):
            if self.id[i] == pid:
                self.id[i] = qid

Quick Union

class QuickUnion:
    def __init__(self, n: int):
        self.id = list(range(n))
    
    def _root(self, i: int) -> int:
        while i != self.id[i]:
            i = self.id[i]
        return i
    
    def find(self, p: int) -> int:
        return self._root(p)
    
    def union(self, p: int, q: int) -> None:
        i = self._root(p)
        j = self._root(q)
        self.id[i] = j

Weighted Quick Union

class WeightedQuickUnion:
    def __init__(self, n: int):
        self.id = list(range(n))
        self.size = [1] * n
    
    def _root(self, i: int) -> int:
        while i != self.id[i]:
            i = self.id[i]
        return i
    
    def find(self, p: int) -> int:
        return self._root(p)
    
    def union(self, p: int, q: int) -> None:
        i = self._root(p)
        j = self._root(q)
        if i == j:
            return
        if self.size[i] < self.size[j]:
            self.id[i] = j
            self.size[j] += self.size[i]
        else:
            self.id[j] = i
            self.size[i] += self.size[j]

总结

不相交集数据结构是一种很有用的数据结构，广泛应用于图算法、网络连接等领域。常见的实现方式有 Quick Find、Quick Union 和 Weighted Quick Union 等算法。其中 Quick Find 算法的 Find 操作时间复杂度为 O(1)，但是 Union 操作时间复杂度为 O(N)；Quick Union 算法的 Find 和 Union 操作时间复杂度好坏取决于树的高度；Weighted Quick Union 算法最好情况下具有 O(logN) 的时间复杂度。在实际应用中，我们需要评估算法的时间复杂度和空间复杂度，选择适当的算法来解决具体的问题。