在图中查找母顶点

在图中查找母顶点是图论中的一个经典问题。母顶点指的是在一个有向图中，任意一点都可以到达该顶点。例如，在下面的图中，顶点1就是母顶点。因为从顶点1出发，可以到达所有的顶点。

解决方法

一般情况下，我们可以通过深度优先搜索（DFS）或者拓扑排序（Topological Sorting）来解决这个问题。

利用DFS

我们可以使用DFS来遍历整个图。遍历到一个节点u时，如果这个节点还没有被访问过，我们需要将它标记为已访问，并且对它的所有出边进行递归调用。

在DFS结束后，我们需要回溯到u的父节点v。如果u是母顶点，那么v可以到达u，并且在DFS遍历时v一定是被最后访问的。

这个算法的时间复杂度为O(n + m)，其中n是节点的个数，m是边的个数。因为我们需要遍历整个图，所以时间复杂度不能再优化。下面是一份C++代码片段，用来实现在有向图中查找母顶点的问题。

int motherVertex(vector<vector<int>>& graph) {
    int vertex = -1;
    vector<bool> visited(graph.size(), false);

    for (int i = 0; i < graph.size(); ++i) {
        if (!visited[i]) {
            dfs(i, graph, visited);
            vertex = i;
        }
    }

    fill(visited.begin(), visited.end(), false);
    dfs(vertex, graph, visited);

    for (bool flag : visited) {
        if (!flag) {
            return -1;
        }
    }

    return vertex;
}

void dfs(int u, vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited) {
    visited[u] = true;

    for (int v : graph[u]) {
        if (!visited[v]) {
            dfs(v, graph, visited);
        }
    }
}

利用拓扑排序

我们可以使用拓扑排序来解决这个问题。具体来说，我们可以先对整个图进行一次拓扑排序，找到最后一个节点x。

在拓扑排序完成后，我们从x开始，再次进行深度优先搜索。如果搜索过程中访问到了所有的节点，那么x就是母顶点。否则，该图中不存在母顶点。

这个算法的时间复杂度为O(n + m)，其中n是节点的个数，m是边的个数。因为我们需要遍历整个图，并进行一次拓扑排序，所以时间复杂度不能再优化。下面是一份C++代码片段，用来实现在有向图中查找母顶点的问题。

int motherVertex(vector<vector<int>>& graph) {
    vector<int> indegree(graph.size(), 0);

    for (int u = 0; u < graph.size(); ++u) {
        for (int v : graph[u]) {
            ++indegree[v];
        }
    }

    int x = -1;

    for (int i = 0; i < graph.size(); ++i) {
        if (indegree[i] == 0) {
            x = i;
        }
    }

    if (x == -1) {
        return -1;
    }

    vector<bool> visited(graph.size(), false);
    dfs(x, graph, visited);

    for (bool flag : visited) {
        if (!flag) {
            return -1;
        }
    }

    return x;
}

void dfs(int u, vector<vector<int>>& graph, vector<bool>& visited) {
    visited[u] = true;

    for (int v : graph[u]) {
        if (!visited[v]) {
            dfs(v, graph, visited);
        }
    }
}

总结

在图中查找母顶点是一个经典问题，可以使用DFS或拓扑排序来解决。这两种算法的时间复杂度都为O(n + m)，其中n是节点的个数，m是边的个数。由于遍历整个图是必不可少的，所以时间复杂度不能再优化。