在通过添加给定数组K次而生成的序列中计算反转次数

简介

给定一个长度为n的序列a，序列初始为空。有m个数组b1、b2、……bm。每次将一个数组b插入序列a的末尾，插入后序列a变为a+b。现在问在插入所有的m个数组后，在序列a+b1+b2+……+bm中，有多少对i<j，并且ai>aj。这个数量称为反转次数，也可以称为逆序数。

解法

这个题目可以使用归并排序的思想进行求解。归并排序中，在归并时会统计逆序数。因此，将每个数组排序后，将这些数组二分地归并即可。在归并的过程中，统计逆序数。

算法步骤：

1. 初始化序列a为空；
2. 对每个数组进行排序；
3. 将这些数组二分地归并，统计逆序数。

时间复杂度为O(mnlogn)。

代码实现

这里给出使用Python实现的代码：

def merge(a, b):
    """
    归并两个有序数组，统计逆序对。
    """
    i, j = 0, 0
    res = []
    count = 0
    while i < len(a) and j < len(b):
        if a[i] <= b[j]:
            res.append(a[i])
            i += 1
        else:
            res.append(b[j])
            j += 1
            count += len(a) - i
    res += a[i:]
    res += b[j:]
    return res, count

def merge_sort(nums):
    """
    归并排序，统计逆序对。
    """
    if len(nums) <= 1:
        return nums, 0

    mid = len(nums) // 2
    left, count_left = merge_sort(nums[:mid])
    right, count_right = merge_sort(nums[mid:])
    merged, count_merged = merge(left, right)

    return merged, count_merged + count_left + count_right

def count_reverse(nums, arrs):
    """
    在通过添加给定数组K次而生成的序列中计算反转次数。
    """
    count = 0
    for arr in arrs:
        _, cnt = merge_sort(arr)
        nums += arr
        count += cnt
    _, count = merge_sort(nums)
    return count

nums = []
arrs = [[4,1,3,2], [5,2,6,1]]
print(count_reverse(nums, arrs))  # 8

代码片段解释：

1. merge函数实现归并两个有序数组，返回归并后的有序数组和逆序数；
2. merge_sort函数实现归并排序，返回排序后的有序数组和逆序数；
3. count_reverse函数计算反转次数，将数组排序后二分地归并，返回逆序数之和；
4. 测试代码，构造nums和arrs，计算反转次数，输出结果。