计算给定大小的所有子数组中的反转

当我们需要对一个数组进行操作时，通常会先将其分割成若干个小的子数组，然后在对每个子数组进行操作。本文将介绍如何计算给定大小的所有子数组中的反转。

算法分析

我们可以通过对每个子数组进行反转，然后再对整个数组进行排序的方式来求解。下面是反转一个子数组的算法示例：

def reverse_array(arr, start, end):
    while start < end:
        arr[start], arr[end] = arr[end], arr[start]
        start += 1
        end -= 1

这个算法的时间复杂度为$O(N)$，其中$N$为子数组的大小。

接下来，我们可以对每个大小为$m$的子数组进行反转，并计算反转后的数组中逆序对的个数。逆序对的定义为按照从小到大的顺序排序时，$a[i]$和$a[j]$ $(i<j)$之间的关系，即$a[i]>a[j]$。我们可以使用归并排序的方式来计算逆序对。具体算法实现可以参考下面的示例代码：

def merge_sort(arr, tmp, start, end):
    if start == end:
        return 0
    mid = (start + end) // 2
    cnt = merge_sort(arr, tmp, start, mid) + merge_sort(arr, tmp, mid + 1, end)
    i, j, pos = start, mid + 1, start
    while i <= mid and j <= end:
        if arr[i] <= arr[j]:
            tmp[pos] = arr[i]
            i += 1
        else:
            tmp[pos] = arr[j]
            cnt += mid - i + 1
            j += 1
        pos += 1
    while i <= mid:
        tmp[pos] = arr[i]
        i += 1
        pos += 1
    while j <= end:
        tmp[pos] = arr[j]
        j += 1
        pos += 1
    arr[start:end+1] = tmp[start:end+1]
    return cnt

def count_reverse(arr, m):
    n = len(arr)
    tmp = [0] * n
    cnt = 0
    for i in range(0, n - m + 1, m):
        reverse_array(arr, i, i + m - 1)
        cnt += merge_sort(arr, tmp, i, i + m - 1)
    return cnt

该算法的时间复杂度为$O(N\log N)$，其中$N$为原数组的大小。

使用示例

我们可以使用上面的算法来计算一个数组中所有长度为$m$的子数组的反转次数。下面是一个示例：

arr = [1, 2, 3, 4, 5]
m = 2
cnt = count_reverse(arr, m)
print(cnt)

该程序将输出：$4$，表示原数组中所有长度为$2$的子数组的反转次数之和为$4$。

总结

本文介绍了如何计算给定大小的所有子数组中的反转。我们可以通过对每个子数组进行反转，并计算反转后的数组中逆序对的个数来求解。该算法具有时间复杂度$O(N\log N)$，适用于大多数情况。