令 z = 8 + 3i 和 w = 7 + 2i，求 z/w 和 zw

实数和虚数之和称为复数。这些是可以写成 a+ib 形式的数字，其中 a 和 b 都是实数。它用 z 表示。在复数形式中，值“a”称为实部，用 Re(z) 表示，“b”称为虚部 Im(z)。它也被称为虚数。在复数形式 a +bi 中，“i”是一个称为“iota”的虚数。

The value of i is (√-1) or we can write as i² = -1.

例如

• 3 + 4i 是复数，其中 3 是实数 (Re)，4i 是虚数 (Im)。
• 2 + 5i 是复数，其中 2 是实数 (Re)，5i 是虚数 (im)

The Combination of real number and imaginary number is called a Complex number.

对于 z = 8 + 3 i 和 w = 7 + 2 i，求 z/w。即确定 (8 + 3i) (7 + 2i) 并尽可能简化，将结果写成 a + bi 的形式，其中 a 和 b 是实数。

解决方案：

Given: z = 8 + 3 i

w = 7 + 2i

To find z/w,

= (8 + 3i )/ (7 + 2i)

Multiplying the numerator and denominator with the conjugate of denominators.

= {(8 + 3i) / (7 + 2i) } × {(7 – 2i) / (7 – 2i)}

= {(8 + 3i)(7 – 2i)} / {(7 + 2i)(7 – 2i)}

= {56 – 16i + 21i – 6i²} / {(7)² – (2i)²}

= {56 + 5i – 6(-1)} / {49 – 4(i² )}

= {56 + 5i +6} / {49 +4}

= (62 +5i) / 53

z/w = 62/53 + 5/53i

Now, (8 + 3i) (7 + 2i)

= {56 + 16i + 21i + 6i²}

= {56 + 37i + 6(-1)}

= {56 + 5i – 6}

= 50 + 5i

类似问题

问题 1：以标准形式表达 (2 – i)/(1 + i)？

解决方案：

Given: (2 – i)/(1 + i)

Multiplying the numerator and denominator with the conjugate of denominators,

= {(2 – i)/(1 + i) × (1 – i)/(1 – i)}

= {(2 – i)(1 – i)} / {(1)² – (i)²}

= {2 – 2i – i – i²} / (1-i²)

= {2 – 3i – (-1)} / (1+1)

= ( 3 – 3i) / 2

= 3/2 – 3/ 2 i

问题2：化简为a + ib, (-5i)(2/8i)

解决方案：

Given: (-5i)(2/8i)

= (- 10/8 )i²

= (- 10/8 )(-1)

= 10/8 + 0i

=  5/4 + 0i

问题 3：对于 z = 3 + 3 i 和 w = 5 + 2 i，求 z/w。即确定 (3 + 3i) (5 + 2i) 并尽可能简化，将结果写成 a+bi 的形式，其中 a 和 b 为实数。

解决方案：

Given: z = 3 + 3 i

w = 5 + 2i

To find z/w

= (3 + 3i )/ (5 + 2i)

Multiplying the numerator and denominator with the conjugate of denominators.

= {(3 + 3i) / (5 + 2i)} × {(5 – 2i) / (5 – 2i)}

= {(3 + 3i)(5 – 2i)} / {(5 + 2i)(5 – 2i)}

= {15 – 6i +15i – 6i²} / {(5)² – (2i)²}

= {15 + 9i – 6(-1)} / {49 – 4(i² )}

= {15 + 9i + 6} / {49 + 4}

= (21 + 9i) / 53

 z/w = 21/53 + 9/53i

Now (3 + 3i) (5 + 2i)

= {15 + 6i +15i + 6i²}

= {15 + 21i + 6(-1)}

= {15 + 21i – 6}

= 9 + 21i

问题 4：执行指定的操作并以标准格式写出答案：(2 – 14i)(2 + 14i)

解决方案：

Given: (2 – 14i)(2 + 14i)

= {(4 + 28i – 28i -196i² )}

= ( 4 + 196)

= 200 + 0i

问题 5：执行指定的操作，并以标准格式写出答案：(7 + 2i) × (5 – 4i)

解决方案：

(7 + 2i) × (5 – 4i)

= (35 – 28i + 10i – 8i²)

= {35 – 18i – 8(-1)} 

= 35 – 18i + 8

= 43 – 18i

问题6：简化-3 + 8i？

解决方案：

The multiplicative inverse of a complex number z is simply 1/z.

It is denoted as: 1 / z  or  z – 1 (Inverse of z)

Here z = -3 + 8i

Therefore z = 1/z

= 1 / (-3 + 8i)

Now rationalizing,

= 1/(-3 + 8i) × (-3 – 8i)/(-3 – 8i)

= (-3 – 8i ) / {(-3)² – 8²i²}

= (-3 – 8i) / {9 + 64}

= (-3 – 8i)/ (73)

= -3/73 – 8i/73

问题 7：以下问题 (-3i)(9i)(-1) 的答案是什么。

解决方案：

Given: (-3i)(9i)(-1)

= -3i × 9i × (-1)

= -27i² × -1 {i² = -1}

= -27 (-1) × -1

= 27 × -1

= -27 + 0i