插入的最小整数以具有相等的总和

问题描述

给定一个整数数组，需要向其中插入一个整数，使得插入后数组中所有的数的总和相等。需要返回插入的最小整数值。

解题思路

假设数组的总和为 sum，则插入的整数值为 target。插入 target 后数组的总和为 sum + target。如果 sum + target 不是偶数，则无法插入，直接返回-1。

在插入 target 后，数组中每个元素都要参与计算，因此需要求出每个元素的贡献值 diff，即从 target 中取出一些数使得这个元素的值加上 diff 刚好等于 sum + target 的一半。如果 sum + target 的一半小于数组的最大值，则只需要将 target 设为最大值加上 1，即可使数组的总和变为偶数。

代码实现

def minInsertion(nums: List[int]) -> int:
    sum_nums = sum(nums)
    if (sum_nums + 1) % 2:
        return -1
    
    target = max(nums) + 1
    while True:
        half = (sum_nums + target) // 2
        diff = half - sum_nums
        if diff < 0 or diff > target:
            target += 1
        else:
            return diff

复杂度分析

本算法时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(1)$。其中的循环是通过不断增加 target 来实现的，当 target 足够大时，程序必然会终止。因此本算法的时间复杂度上界为 $\sum_{i=1}^{+\infty}{i} = O(i^2)$，空间复杂度为常数级别，因此是非常高效的。