使所有 K 长度子数组的总和相等所需的最小替换

介绍

在一组非负整数中，我们希望通过最小化替换次数来使所有长度为 K 的连续子数组的总和相等。我们可以替换整数，以达到这个目标。更具体地说，我们可以用另一个整数替换某个整数。

解决方案

总体思路：

1. 计算原数组的子数组和；
2. 如果不能被 K 整除，则返回-1；
3. 对于数组中的每个元素，计算替换该元素后能够使其所在的子数组和等于目标和所需的操作次数；
4. 返回操作次数的总和。

我们可以通过一个字典来优化第3步的计算时间。同时，我们可以在计算子数组和时记录每个长度 K 的子数组的和，以避免在每次计算时都重新计算。

具体实现见代码片段：

from typing import List


def min_replacements(arr: List[int], k: int) -> int:
    n = len(arr)
    if n % k != 0:
        return -1

    # Compute sub-array sums of k length
    subarr_sums = [0] * (n - k + 1)
    subarr_sums[0] = sum(arr[:k])
    for i in range(1, n - k + 1):
        subarr_sums[i] = subarr_sums[i-1] - arr[i-1] + arr[i+k-1]

    # Compute target sum
    target_sum = sum(subarr_sums) // (n // k)

    # Compute operation counts
    counts = 0
    freq = {}
    for i in range(n):
        counts += (target_sum - arr[i])
        if arr[i] not in freq:
            freq[arr[i]] = 0
        freq[arr[i]] += 1
        if i >= k:
            freq[arr[i-k]] -= 1
            counts -= (target_sum - arr[i-k])    
        if freq.get(target_sum - arr[i], 0) > 0:
            freq[target_sum - arr[i]] -= 1
            counts -= (target_sum - arr[i]) * 2
    return counts // 2

性能

时间复杂度：$O(n)$

空间复杂度：$O(n)$

结论

该算法利用哈希表将时间复杂度优化到了$O(n)$，能够高效地解决问题。