查找正方形的一面，以使其最小的区域适合其中的两个相同的矩形

在许多应用中，需要将多个矩形放置在一个正方形内，以便节省空间。在本文中，我们将讨论如何找到最小的正方形面积，使得两个相同的矩形可以适合其中。

解决方案

我们可以使用二分查找算法来解决这个问题。假设我们要放置两个相同的矩形，它们的长度分别为L1和L2，宽度为W。我们可以二分查找可能的W值，并检查是否有一个正方形可以容纳这两个矩形。在每次二分查找中，我们可以使用一个正方形箱子（即边长为W的正方形）来尝试放置这两个矩形。

具体而言，我们可以在每一次二分查找中，将正方形箱子放置在一个大的二维平面上，并检查两个矩形是否可以适合其中。具体来说，如果两个矩形的长度之和小于箱子的边长W，则它们可以在正方形箱子中放置。否则，我们需要找到一个更大的正方形箱子。

为了检查两个矩形是否可以适合一个正方形箱子中，我们可以将其中一个矩形旋转90度，以匹配另一个矩形的方向。然后我们可以在正方形箱子中尝试放置这两个矩形。如果正方形箱子足够大，则两个矩形可以适合其中。否则，我们将尝试使用较大的正方形箱子。

以下是该算法的Python实现:

def can_fit_square(L1, L2, W, S):
    # L1, L2: the lengths of two rectangles to be placed
    # W: the width of the square box
    # S: the minimum length of the square box that can fit the two rectangles
    if L1 + L2 <= W:
        return True
    if max(L1, L2) > S:
        return False
    if L1 > W and L2 > W:
        return False
    if L1 <= W and L2 <= W:
        return L1 + L2 <= S
    if L1 > W:
        L1, L2 = L2, L1
    # L1 <= W and L2 > W
    return L1 + W <= S and L2 <= W

def smallest_fitting_square(L1, L2):
    left, right = max(L1, L2), 2 * max(L1, L2)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        if can_fit_square(L1, L2, mid, left):
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left

性能分析

该算法的时间复杂度为O(log(S)), 其中S是最终需要的最小正方形面积，这比暴力枚举所有可能的正方形面积要快得多。在二分查找的每次迭代中，我们仅需检查两个矩形是否可以适合给定宽度的正方形箱子中。这一检查仅需要常数时间。

总结

在本文中，我们介绍了如何使用二分查找算法来找到最小的正方形面积，以便放置两个相同的矩形。这个算法的时间复杂度为O(log(S))，其中S是最小的正方形面积。该算法可以在许多应用中使用，以便将多个矩形放置在一个正方形内，以便节省空间。