由给定矩形形成的最小正方形

在计算机编程中，经常需要处理矩形和正方形。在某些场景下，我们需要将若干个矩形组合成最小的正方形。本文将介绍如何使用计算机程序来实现这个功能。

问题描述

假设我们有 $n$ 个矩形，每个矩形的长和宽分别为 $l_i$ 和 $w_i$。现在需要找到一个最小的正方形，使得所有的矩形都能够放入其中，矩形不能旋转。

解决方案

这个问题可以通过以下步骤来解决：

1. 计算所有矩形的面积之和 $s$。
2. 计算面积最大的矩形的对角线长度 $d$。对于一个长为 $l$、宽为 $w$ 的矩形，它的对角线长度为 $\sqrt{l^2 + w^2}$。
3. 最终的正方形边长 $b$ 为 $\lceil max(\sqrt{s}, d)\rceil$。其中 $\lceil x \rceil$ 表示不小于 $x$ 的最小整数。
4. 将所有矩形按照长和宽分别从大到小排序。
5. 依次将每个矩形放入正方形中，如果放不下就移到一个新的位置。

具体的代码实现方式因编程语言而异，下面是 Python 语言的代码示例：

import math

def min_square(rectangles):
    # 计算面积之和
    s = sum([l * w for l, w in rectangles])
    # 计算对角线长度
    d = max([math.sqrt(l ** 2 + w ** 2) for l, w in rectangles])
    # 计算正方形边长
    b = math.ceil(max(math.sqrt(s), d))
    # 按长和宽分别从大到小排序
    rectangles.sort(key=lambda r: (max(r), min(r)), reverse=True)
    # 初始化正方形
    square = [[0] * b for _ in range(b)]
    # 依次放入矩形
    for l, w in rectangles:
        for x in range(b - l + 1):
            for y in range(b - w + 1):
                if all(square[i][j] == 0 for i in range(x, x + l) for j in range(y, y + w)):
                    for i in range(x, x + l):
                        for j in range(y, y + w):
                            square[i][j] = 1
                    break
        else:
            # 放不下则扩展正方形
            b += 1
            for row in square:
                row.append(0)
            square.append([0] * b)
            # 重新放入矩形
            min_square(rectangles)

    return b, square

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(n^2 b^2)$，其中 $n$ 为矩形的数量，$b$ 为正方形的边长。当所有矩形的边长都比正方形的边长小很多时，算法的效率会很低，因为需要扩展正方形很多次。但实际上这种情况并不常见，通常情况下运行效率还是比较高的。