由给定矩形组成的最小正方形

在计算机科学中，有时候需要将若干个矩形拼接成一个正方形，这个正方形的边长尽可能的小，以最小化结果面积。这种问题被称为“由给定矩形组成的最小正方形”问题。

简介

给定一组 $n$ 个矩形，每个矩形 $i$ 都有宽度 $w_i$ 和高度 $h_i$。需要找出正方形的边长 $s$，使得所有的矩形都能够放在一个边长为 $s$ 的正方形内，且正方形的边长最小。

这个问题是一个经典的计算几何问题，广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计、图像处理、计算机游戏等领域。在实际应用中，这个问题的解法不仅要求快速、精确，还要求可以处理大规模的输入数据。

解法

一个显然的思路是枚举正方形的边长 $s$，然后检查所有矩形是否能够放在这个正方形内。如果能够放下，则更新当前的最小边长 $s$，并继续尝试更小的边长。如果不能放下，则尝试更大的边长。代码如下：

def min_square(rectangles: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    n = len(rectangles)
    w_sum = sum(w for w, _ in rectangles)
    h_sum = sum(h for _, h in rectangles)
    s_max = max(w_sum, h_sum)
    s_min = max(max(w, h) for w, h in rectangles)
    for s in range(s_min, s_max+1):
        x_min, y_min, x_max, y_max = s, s, 0, 0
        for x, y in rectangles:
            if x > s or y > s:
                break
            if x_min > x:
                x_min = x
            if y_min > y:
                y_min = y
            if x_max < x:
                x_max = x
            if y_max < y:
                y_max = y
        if x_max - x_min <= s and y_max - y_min <= s:
            return s
    return -1  # 无解

rectangles = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)]
print(min_square(rectangles))

时间复杂度为 $O(s_{max} n^2)$，空间复杂度为 $O(1)$，其中 $s_{max}$ 是所有矩形宽度和高度的最大值。

由于这个算法是暴力枚举，对于大规模数据来说效率不高。如果要处理大数据，需要使用更高效的算法。常见的高效算法主要有以下两类。

二分答案

二分答案是一种常用的优化方法，可以将 $O(s_{max} n^2)$ 的时间复杂度降为 $O(n \log s_{max})$。具体方法是二分正方形的边长 $s$，然后检查矩形是否能够放在这个正方形内。如果能够放下，则尝试更小的边长；如果不能放下，则尝试更大的边长。二分答案的代码如下：

def min_square(rectangles: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    n = len(rectangles)
    w_sum = sum(w for w, _ in rectangles)
    h_sum = sum(h for _, h in rectangles)
    s_max = max(w_sum, h_sum)
    s_min = max(max(w, h) for w, h in rectangles)
    l, r = s_min, s_max
    while l <= r:
        s = (l + r) // 2
        x_min, y_min, x_max, y_max = s, s, 0, 0
        for x, y in rectangles:
            if x > s or y > s:
                break
            if x_min > x:
                x_min = x
            if y_min > y:
                y_min = y
            if x_max < x:
                x_max = x
            if y_max < y:
                y_max = y
        if x_max - x_min <= s and y_max - y_min <= s:
            r = s - 1
        else:
            l = s + 1
    return l

时间复杂度为 $O(n \log s_{max})$，空间复杂度为 $O(1)$。

最小表示法

最小表示法是一种可以处理大规模数据的方法，时间复杂度为 $O(n \log n)$。具体方法是将所有矩形以一个点为左下角，以 $w_i$ 和 $h_i$ 分别为横坐标和纵坐标，转化成一个点的集合 $P$。然后计算点集 $P$ 的最小表示法，即最小的包含 $P$ 的凸多边形。

计算点集的最小表示法可以使用 Graham 扫描算法、旋转卡壳算法、期望线性时间算法等方法。这里介绍期望线性时间算法。代码如下：

def min_square(rectangles: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    def cross(a: Tuple[int, int], b: Tuple[int, int], c: Tuple[int, int]) -> int:
        return (b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) - (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1])
    n = len(rectangles)
    w_sum = sum(w for w, _ in rectangles)
    h_sum = sum(h for _, h in rectangles)
    s_max = max(w_sum, h_sum)
    s_min = max(max(w, h) for w, h in rectangles)
    p = [(0, 0), (w_sum, 0), (w_sum, h_sum), (0, h_sum)]
    for i in range(n):
        p.append((rectangles[i][0], rectangles[i][1]))
        p.append((rectangles[i][0]+rectangles[i][1], rectangles[i][1]))
        p.append((rectangles[i][0], rectangles[i][1]+rectangles[i][0]))
        p.append((rectangles[i][0]+rectangles[i][1], rectangles[i][1]+rectangles[i][0]))
    random.shuffle(p)
    hull = []
    for i in range(len(p)):
        while len(hull) >= 2 and cross(hull[-2], hull[-1], p[i]) <= 0:
            hull.pop()
        hull.append(p[i])
    return max(max(hull[i+1][0]-hull[i][0], hull[i+1][1]-hull[i][1]) for i in range(len(hull)-1))

rectangles = [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)]
print(min_square(rectangles))

时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

总结

由给定矩形组成的最小正方形问题是一个经典的计算几何问题，有多种解法。暴力枚举法是一种简单易懂的方法，但难以处理大规模的输入数据。二分答案法可以将时间复杂度降为 $O(n \log s_{max})$，但需要注意边界条件和细节。最小表示法是一种可以处理大规模输入数据的算法，但实现较为复杂，并且需要一些数学基础。在实际应用中，可以根据数据规模和要求精度的不同，选择不同的算法。