计算直角三角形数量

问题描述

给定 N 个点，编写一个函数来计算由这些点形成的直角三角形的数量，其中三角形的底边或垂线平行于 X 或 Y 轴。

输入格式

函数的输入是一个二维数组，每个元素为一个长度为 2 的数组，表示一个点的坐标。保证数组中没有重复的点。

输出格式

函数的输出是一个整数，表示由所给定的点形成的直角三角形的数量。

解题思路

直角三角形的底边或垂线平行于 X 或 Y 轴，因此可以将给定的 N 个点按照 X 坐标或 Y 坐标进行排序，枚举每两个点作为直角三角形的一条边，然后检查是否存在另外两个点作为该直角三角形的其他两条边，从而计算出直角三角形的数量。

具体来说，可以将所有的点按照 X 坐标从小到大排序，对于每对点 (p1, p2)，将它们作为一条边，然后在所有 X 坐标大于 p2 的点中，查找是否存在一个点 p3，使得 p3 的 X 坐标等于 p2 的 X 坐标且 Y 坐标比 p2 大，即 p3 在 p2 的正上方。

类似地，对于每对点 (p1, p2)，将它们作为一条边，然后在所有 Y 坐标大于 p2 的点中，查找是否存在一个点 p3，使得 p3 的 Y 坐标等于 p2 的 Y 坐标且 X 坐标比 p2 大，即 p3 在 p2 的正右方。

代码实现

def count_right_triangles(points):
    """
    计算由给定的 N 个点形成的直角三角形的数量，其中三角形的底边或垂线平行于 X 或 Y 轴。

    :param points: 给定的 N 个点，每个点为一个长度为 2 的数组，表示一个点的坐标。
    :return: 直角三角形的数量。
    """
    count = 0
    # 按照 X 坐标从小到大排序
    points.sort(key=lambda p: p[0])
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i + 1, len(points)):
            # 计算以 (i, j) 为底边的直角三角形数量
            dx, dy = points[j][0] - points[i][0], points[j][1] - points[i][1]
            count += sum(1 for k in range(len(points)) if k != i and k != j and
                         (points[k][0] == points[i][0] and points[k][1] > points[i][1] and points[k][1] < points[j][1]) or
                         (points[k][1] == points[i][1] and points[k][0] > points[i][0] and points[k][0] < points[j][0]))
    # 按照 Y 坐标从小到大排序
    points.sort(key=lambda p: p[1])
    for i in range(len(points)):
        for j in range(i + 1, len(points)):
            # 计算以 (i, j) 为底边的直角三角形数量
            dx, dy = points[j][0] - points[i][0], points[j][1] - points[i][1]
            count += sum(1 for k in range(len(points)) if k != i and k != j and
                         (points[k][0] == points[i][0] and points[k][1] > points[i][1] and points[k][1] < points[j][1]) or
                         (points[k][1] == points[i][1] and points[k][0] > points[i][0] and points[k][0] < points[j][0]))
    return count

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(N^3)，其中 N 为点的数量，因为需要枚举每两个点作为直角三角形的一条边，然后在所有点中查找另外两个点作为该直角三角形的其他两条边。

该算法的空间复杂度为 O(1)，因为只需要存储常数个变量。