题目介绍

给定一个由 “O” 和 “X” 组成的矩阵，找到被 “X” 包围的最大子正方形。如果不存在这样的子正方形，则返回 0。

例如，给定以下矩阵：

X X X X
X O O X
X X O X
X O X X

返回 2，因为最大的被 “X” 包围的子正方形的边长为 2。

解题思路

该题的解题思路可以分为两个步骤：

1. 将矩阵边界上的 “O” 以及与其相邻的 “O” 都设为其他字符（比如说 “#”），这些字符都不会是正方形的一部分。这个过程可以用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来实现。

2. 遍历矩阵中所有不等于 “#” 的元素，并计算以当前元素为正方形右下角的最大正方形边长。

代码实现

下面是使用 BFS 方法实现的 Python 代码示例：

from collections import deque

def bfs(board, i, j):
    m, n = len(board), len(board[0])
    queue = deque([(i, j)])
    board[i][j] = "#"
    while queue:
        x, y = queue.popleft()
        for dx, dy in [(0, 1), (1, 0), (0, -1), (-1, 0)]:
            nx, ny = x + dx, y + dy
            if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and board[nx][ny] == "O":
                board[nx][ny] = "#"
                queue.append((nx, ny))

def maximalSquare(board) -> int:
    if not board:
        return 0
    m, n = len(board), len(board[0])
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if (i == 0 or i == m-1 or j == 0 or j == n-1) and board[i][j] == "O":
                bfs(board, i, j)
    res = 0
    for i in range(1, m-1):
        for j in range(1, n-1):
            if board[i][j] == "O":
                r = 1
                while i + r < m and j + r < n and board[i+r][j] == "O" and board[i][j+r] == "O":
                    r += 1
                res = max(res, r)
    return res * res

其中，bfs 函数用于将边界上的 “O” 和其相邻的 “O” 转换为 “#”，maximalSquare 函数用于计算最大正方形的边长。

时间复杂度

以上算法的时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为矩阵的行数和列数。这个复杂度主要来自 BFS 遍历矩阵和遍历矩阵中所有不等于 “#” 的元素。整个算法的空间复杂度为 $O(mn)$，用于存储矩阵中的数据。