给定大小的子矩阵，最大为 1

当处理二维数组时，有时候需要找到一个子矩阵（子矩阵可以是任意大小），其中所有的元素都是 1，并且该矩阵的大小是给定的。本文将介绍如何编写一个算法来解决这个问题。

解决方案

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体来说，我们首先预处理出一个二维的前缀和数组，每个元素表示原始矩阵中以该元素为右下角的矩阵中所有元素的和。接下来，我们考虑枚举子矩阵的右下角坐标 $(i, j)$，并使用前缀和数组来快速计算出该子矩阵中元素的和。

我们可以使用一个变量来记录当前最大的矩阵大小，只要我们找到了一个更大的矩阵，就更新该变量即可。具体来说，我们可以先预处理出一个数组 $f_{i,j}$，表示以坐标 $(i, j)$ 为右下角的最大全为 1 的子矩阵的大小。假设 $f_{i,j}$ 表示的子矩阵的大小为 $k$，则我们可以通过检查 $f_{i-1,j-1}$、$f_{i-1,j}$ 和 $f_{i,j-1}$ 来更新 $f_{i,j}$ 的值。具体地，我们通过比较 $f_{i-1,j-1}$、$f_{i-1,j}$ 和 $f_{i,j-1}$ 的值，找出其中最小的那个，假设为 $m$，则以 $(i, j)$ 为右下角的最大全为 1 的子矩阵的大小为 $m+1$（当 $(i, j)$ 对应的元素为 0 时，$f_{i,j}$ 的值为 0）。最后，我们遍历数组 $f$，找到最大的子矩阵即可。

代码实现

下面是一个使用 Python 实现的示例代码：

def max_submatrix(matrix, size):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    prefix_sum = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            prefix_sum[i][j] = prefix_sum[i-1][j] + prefix_sum[i][j-1] - prefix_sum[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1]
    
    f = [[0] * n for _ in range(m)]
    max_size = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                f[i][j] = 1
                if i > 0 and j > 0:
                    f[i][j] = min(f[i-1][j-1], f[i-1][j], f[i][j-1]) + 1
                max_size = max(max_size, f[i][j])
    return max_size * max_size if max_size <= size else 0

总结

本文介绍了如何使用动态规划来解决一个寻找最大全是 1 的子矩阵的问题。我们首先预处理出一个前缀和数组来快速计算矩阵元素的和，然后使用一个动态规划数组 $f$ 来表示以每个元素为右下角的最大全 1 子矩阵的大小。最后，我们遍历整个数组 $f$，找到最大的子矩阵即可。