相邻元素之差小于 D 的最长非递减子序列

介绍

给定一个长度为 N 的数组 A，求其最长的非递减子序列 B，满足相邻元素之差小于等于 D。

例如，如果 A = [1, 3, 2, 6, 4, 5], D = 2，则 B 可以是 [1, 2, 4, 5] 或者 [1, 3, 4, 5]，长度均为 4。

解法

这道题可以用动态规划来求解。

设 dp[i] 表示以 A[i] 结尾的最长非递减子序列的长度，状态转移方程如下：

dp[i] = max{ dp[j] + 1 }，其中 i > j 且 A[i] - A[j] <= D

解释一下这个状态转移方程的意义：

对于第 i 个位置，我们需要找到 A[i] 可以加入到哪些子序列中去，从而得到以 A[i] 结尾的最长非递减子序列的长度。

具体来说，我们枚举所有比 i 小的位置 j，然后判断 A[i] 和 A[j] 之间的差值是否小于等于 D。如果满足条件，就可以将 A[i] 加入到 dp[j] 对应的子序列中去，从而得到以 A[i] 结尾的最长非递减子序列的长度 dp[i]。

最终的答案就是 dp 数组中的最大值。

代码实现

下面是 Python 代码的实现：

def solve(A, D):
    n = len(A)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if A[i] - A[j] <= D:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

注：这个代码的时间复杂度为 O(N^2)，可能无法通过本题的所有测试点。在实际使用中，还需要考虑优化算法的效率，例如使用二分查找来减少比较的次数。