最大和最小元素之差等于 K 的最长子序列

问题描述

给定一个整数序列和一个整数 K，找到一个最长的子序列，使得子序列中最大值和最小值之差等于 K。

问题分析

子序列

子序列是指在给定序列中任意取出若干个元素，按照原来的顺序排列组成的序列。例如，[2, 3, 5] 是 [1, 2, 3, 4, 5] 的一个子序列。

最大值和最小值之差

给定一个整数序列，设其中的最大值为 max，最小值为 min，则最大值和最小值之差为 max-min。

动态规划

本题可以采用动态规划的思想来求解。设 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长满足条件的子序列的长度。

状态转移方程如下：

• 如果 a[i]-K 不存在于前 i-1 个元素中，则 dp[i]=1；
• 如果 a[i]-K 存在于前 i-1 个元素中，则 dp[i]=max{dp[j]}+1，其中 j 是最后一个满足条件的元素的下标。

最终的结果为 max{dp[i]}。

代码实现

def find_max_length_subsequence(a, K):
    n = len(a)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if a[i]-K not in a[j:i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

a = [1, 5, 3, 6, 4, 7, 2]
K = 2
print(find_max_length_subsequence(a, K))  # Output: 4

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 n 是序列的长度。
• 空间复杂度：$O(n)$。

总结

最大和最小元素之差等于 K 的最长子序列问题采用动态规划的思想可以求解。需要注意的是，如果 a[i]-K 不存在于前 i-1 个元素中，则 dp[i]=1。这是因为在这种情况下，最长满足条件的子序列只包含第 i 个元素本身。