差异最大为K的最长子序列

问题描述

给定长度为n的整数序列a，求其差异最大为K的最长子序列的长度。

其中，差异最大为K表示对于子序列中的任意两个数ai, aj （i<j），有|ai-aj|≤K。

算法实现

算法思路

本问题是一道动态规划问题。

定义dp[i]为以数列中的第i个数字结尾的最长子序列的长度。对于dp[i]，只需考虑以a[i]为结尾的所有长度为j（j<=i）的子序列，找到其中差异最大不超过K的即可。设以i为结尾的长度为j的最长子序列为f(i ,j)，则可以得到转移方程：

dp[i] = max{f(i,j)}, j<=i

f(i,j) = max{f(k,j-1)} + 1, 0<=k<i, |a[i]-a[k]|<=K

其中，dp[i]表示以i为结尾的最长子序列长度；f(i, j)表示以i为结尾的，长度为j的最长子序列长度。

算法实现

具体实现过程见下方代码片段。

def find_longest_subsequence(a, k):
    length = len(a)
    dp = [1] * length
    for i in range(1, length):
        for j in range(i):
            if abs(a[i] - a[j]) <= k:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

由于该算法的时间复杂度为O(n^2)，对于较大的数据集可能无法满足时效性的要求。因此，在实际应用中，可以考虑使用二分查找等优化方法。