最长子序列差异最大为 K

简介

最长子序列差异最大为 K（Longest Subsequence with Maximum Difference of K）是一道经典题目，它要求找到一个序列的最长子序列，使得该子序列中相邻两个元素之间的差异不超过K，并且这个子序列是所有满足条件的子序列中最长的。

这道题目在算法竞赛中经常出现，因为它可以用来考察双指针、动态规划等算法实现能力。解决这个问题的重点在于想出一个有效的算法，并且在实现时考虑边界情况。

思路

一个简单的方法是对于每一个位置 i，计算出能够以该位置结尾的最长子序列长度，然后记录最大值。具体做法是使用双指针技术，不断扩大右指针的范围，同时用左指针保证相邻两个元素的差异不超过K。

如何维护左指针和右指针呢？可以使用两个指针left和right来维护。right从1往右移动，而left则根据条件进行跳跃。具体来说就是，如果right和left之间的差异不超过K，那么left就继续向左移动；否则就让left停留在现在的位置，直到right向右移动导致两者差异小于或等于K。

代码

def longest_subsequence_with_max_diff_of_k(nums, k):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        left, right = i - 1, i
        max_num, min_num = nums[i], nums[i]
        while left >= 0 and max_num - nums[left] <= k and nums[left] - min_num <= k:
            max_num = max(max_num, nums[left])
            min_num = min(min_num, nums[left])
            left -= 1
        while right < n and max_num - nums[right] <= k and nums[right] - min_num <= k:
            max_num = max(max_num, nums[right])
            min_num = min(min_num, nums[right])
            right += 1
        dp[i] = right - left - 1
    return max(dp)

性能分析

时间复杂度：$O(n^2)$，因为需要用双指针法处理每一个位置。

空间复杂度：$O(n)$，需要使用额外的数组来记录i位置结尾的最长子序列长度。

在实际应用中，性能可能不太理想。但是，在算法竞赛中，一些题目的数据范围很小，因此使用这个算法通常可以得到很好的成绩。