最长子序列，最大和最小元素之差等于K

在算法和数据结构中，最长子序列、最大和最小元素之差等于K这两个问题是很典型的问题。它们通常需要通过动态规划或递推的方式来解决，因此需要程序员对这方面的技术有一定的掌握。

最长子序列

最长子序列是指在一个序列中找到一个子序列，使得该子序列中的元素是按照原序列中的顺序连续的，且该子序列的长度最长。

我们可以通过动态规划的方式来解决最长子序列问题。具体而言，我们可以定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素为结尾的最长子序列的长度。那么 $dp[i]$ 的值可以通过如下方式进行转移：

$$ dp[i] = \begin{cases} 1, & \text{if } i = 0 \ \max_{0 \leq j < i}(dp[j] + 1), & \text{otherwise} \end{cases} $$

其中 $\max_{0 \leq j < i}$ 表示在 $0$ 到 $i - 1$ 中寻找 $dp[j] + 1$ 的最大值。

最终的最长子序列的长度即为 $dp$ 数组中的最大值。

实现如下：

def longest_subsequence(nums):
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

最大和最小元素之差等于K

最大和最小元素之差等于K的问题是给定一个序列和一个常数 $k$，在这个序列中找到一对不相交的子序列 $A$ 和 $B$，使得 $A$ 中的元素的最大值与 $B$ 中的元素的最小值之差等于 $k$，且 $A$ 和 $B$ 的长度之和最大。

这个问题可以通过贪心的方法来解决。具体而言，我们可以定义两个指针 $i$ 和 $j$，分别指向序列的开头和结尾。我们可以在不断移动 $i$ 和 $j$ 的过程中记录 $A$ 和 $B$ 的长度以及 $A$ 中的元素的最大值和 $B$ 中的元素的最小值。我们要不断地寻找 $i$ 和 $j$ 的新组合，以便能够满足最大和最小元素之差等于 $k$ 这一条件。

实现如下：

def max_diff(nums, k):
    n = len(nums)
    i = j = 0
    A_len = B_len = 0
    A_max = float('-inf')
    B_min = float('inf')
    ans = -1
    while i < n and j < n:
        A_max = max(A_max, nums[i])
        B_min = min(B_min, nums[j])
        if A_max - B_min == k:
            ans = max(ans, A_len + B_len + 2)
            i += 1
            A_len += 1
            A_max = float('-inf')
        elif A_max - B_min > k:
            i += 1
            A_len += 1
            A_max = float('-inf')
        else:
            j += 1
            B_len += 1
            B_min = float('inf')
    return ans

以上就是最长子序列和最大和最小元素之差等于 $k$ 的介绍。希望对你有所帮助！