最长递减子序列

最长递减子序列问题是计算机科学中的一个经典问题，它是最长公共子序列问题的变体。在这个问题中，我们需要找到一个序列中递减的元素构成的最长子序列。

举个例子，序列 [5, 3, 2, 4, 1] 的最长递减子序列是 [5, 4, 1]。

解决方法

最长递减子序列问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递减子序列的长度。

我们可以根据每个元素与前面元素的大小关系来计算 dp[i]。具体来说，当第 i 个元素小于第 j 个元素时，我们可以计算 dp[i] 为 dp[j] + 1。我们遍历所有的 j < i 并计算 dp[i] 最大值即可。

下面是 Python 代码实现：

def longest_decreasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] > nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

另一种解法

另一种解决最长递减子序列的方法是将原序列反转，然后求原序列中的最长递增子序列。

因为递减子序列反转后就是递增子序列，所以这个解决方法是成立的。

下面是 Python 代码实现：

def longest_decreasing_subsequence(nums):
    reversed_nums = nums[::-1]
    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if reversed_nums[j] < reversed_nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

该算法的时间复杂度同样为 $O(n^2)$。

总结

最长递减子序列问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个数组 dp，用来记录以每个元素结尾的最长递减子序列的长度。

另一种解决方法是将原序列反转，然后求原序列中的最长递增子序列。这种方法是成立的，因为递减子序列反转后就是递增子序列。

以上就是最长递减子序列问题的解决方法。