使用最长公共子序列算法的最长递增子序列

简介

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）是指在一个序列中，选取任意个数构成一个子序列，并且这个子序列中的元素是单调递增的，要求这个子序列的长度最长。

一般情况下，最长递增子序列问题可以使用动态规划来解决，时间复杂度为 $O(n^{2})$ 或者是 $O(nlog_{2}n)$ 。最长公共子序列算法是计算两个序列之间的最长公共子序列的优秀算法，在求解最长递增子序列问题时可用于优化时间复杂度。

思路

对于一个长度为 $n$ 的序列，我们可以定义一个数组 $dp$，其中 $dp[i]$ 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。

那么，我们可以通过以下方式求解每个 $dp[i]$ 的值：

• 首先将 $dp$ 数组中的所有值初始化为 1 （因为单个元素本身也是一个递增子序列）；
• 对于第 $i$ 个元素，依次遍历其前面的所有元素 $j$ （$j \in [0, i)$）；
• 若第 $j$ 个元素小于第 $i$ 个元素，则可以将 $j$ 的最长递增子序列长度加 1，与当前 $dp[i]$ 值比较并取较大值。

通过以上方式，最终 $dp$ 数组中最大的值即为我们要求的最长递增子序列的长度。

但是，以上方式的时间复杂度为 $O(n^{2})$，对于较大的序列，计算量非常大。因此，我们可以引入最长公共子序列算法进行优化。

最长公共子序列算法的时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为两个序列的长度。因此，如果我们将序列本身及其排序后的序列映射到两个序列中，并运用最长公共子序列算法即可优化本问题的时间复杂度。

代码实现

以下为 Python 语言实现：

def longest_increasing_subsequence(nums):
    if not nums:
        return 0
    
    # 将 nums 排序并去重
    nums_sorted = sorted(set(nums))
    n = len(nums)
    m = len(nums_sorted)
    
    # 构建一个二维的 dp 数组
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 根据最长公共子序列算法，遍历两个序列并求解最长公共子序列长度
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if nums[i - 1] == nums_sorted[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    
    # 返回最长递增子序列的长度
    return dp[n][m]

性能分析

对于一个长度为 $n$ 的序列，上述算法的时间复杂度为 $O(nlog_{2}n)$，空间复杂度为 $O(n^{2})$。因此，该算法的时间复杂度较优，可以在处理大规模数据时保持较好的性能表现。

结论

通过使用最长公共子序列算法，我们可以将最长递增子序列问题的时间复杂度优化为 $O(nlog_{2}n)$，同时保持相对较小的空间复杂度。在实际开发中，可以根据具体情况考虑是否使用该算法以及如何应用。