使用最长公共子序列算法的最长增长子序列

最长公共子序列（LCS）算法是一种用于求解两个序列最长公共子序列的动态规划算法。最长增长子序列（LIS）是一个序列中最长的一个子序列，该子序列中的元素是按照升序排列的。LIS问题可以使用LCS算法来解决。

算法原理

LIS问题可以被转换为LCS问题。我们首先将原始序列求反，然后自身与自身进行LCS算法求解，所得到的公共子序列即为原始序列的最长增长子序列。

例如，对于序列 {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18}，首先我们将其求反得到 {18, 101, 7, 3, 5, 2, 9, 10}。我们将这两个序列进行LCS算法求解，得到的结果为{101, 7, 5, 2, 9, 10}，这个序列就是原序列的最长增长子序列。

算法实现

下面是使用Python实现LIS算法的代码片段：

def lis(nums):
    if not nums:
        return 0
        
    # 求反序列
    nums_r = nums[::-1]
    
    # 初始化
    n = len(nums)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    
    # 计算LCS
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            if nums[i-1] == nums_r[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j])
                
    # 返回LIS
    return dp[n][n]

使用上述代码，我们可以求得一个序列的最长增长子序列的长度。如果需要求得具体的序列，可以根据dp数组进行回溯。

算法复杂度

LIS问题的时间复杂度为O(n^2)，其中n为序列的长度。该算法采用了LCS算法，时间复杂度相同。空间复杂度为O(n^2)。